Решение дифференциальных уравненийоперационным методом
Рассмотрим задачу, наиболее часто встречающуюся в теории дифференциальных уравнений, — задачу Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем.
а) линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
где — порядок дифференциального уравнения; — заданные коэффициенты; — заданная функция;
б) начальные условия:
Требуется найти решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальным условиям (решить задачу Коши (5.24),(5.25)).
Замечание 5.6. Переменная
а) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, записанная в нормальной форме:
где — вектор неизвестных; матрица коэффициентов; — заданная вектор-функция;
б) начальные условия (где — вектор начальных значений):
Требуется найти решение системы, которое удовлетворяет начальным условиям (решение задачи Коши (5.26),(5.27)).
Во многих учебниках изложены классические аналитические и численные методы решения задачи Коши. Здесь будем предполагать, что заданная функция и искомая функция принадлежат классу оригиналов. Для решения задач (5.24),(5.25) и (5.26),(5.27) можно применить аппарат операционного исчисления метода решения задач, суть которого состоит в следующем.
Поставленная в классе оригиналов задача переводится с помощью преобразования Лапласа в задачу для изображений. Эта задача решается, и определяете изображение искомой функции. Затем применяется обратное преобразование Лапласа и находится оригинал — решение поставленной задачи.
Алгоритм решения задачи Коши операционным методом
1. Применить преобразование Лапласа: от известных и неизвестных функций перейти к их изображениям, записать уравнение (систему) в изображениях, соответствующее решаемой задаче Коши.
2. Решить полученное уравнение (систему): найти изображение искомого решения.
3. Применить обратное преобразование Лапласа: найти оригинал для полученного в п.2 изображения.
1. Преимущество операционного метода заключается в том, что при его применении функции из пространства оригиналов и производимые над ними операции заменяются функциями и операциями в пространстве изображений, которые оказываются более простыми. Так, вместо дифференциальных уравнений решаются алгебраические уравнения (рис. 5.8).
2. Начальные условия при записи уравнений в изображениях учитываются автоматически, и нет необходимости решать систему для нахождения произвольных постоянных, как это делается при применении классического метода.
3. Операционное исчисление позволяет найти не только частное, но и общее решение уравнения (5.24). Для этого достаточно положить . При нахождении общего решения системы (5.26) следует принять .
4. Операционное исчисление можно применять для широкого класса кусочно-непрерывных функций и функций, заданных графически; для решения уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений; для вычисления несобственных интегралов и суммирования рядов.
5. При решении уравнения (системы) для изображений не следует приводить дроби к общему знаменателю, так как следующий этап — нахождение оригинала — связан с представлением дробей в виде суммы.
Пример 5.30. Решить задачи Коши: а) ; б) .
а) Воспользуемся алгоритмом.
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Здесь использованы формулы (5.11) и 1 из табл. 5.1. Запишем уравнение для изображений:
2. Решим уравнение для изображений:
3. Найдем оригинал для функции . Применяя формулы 15,6 из табл. 5.1, получаем:
б) Воспользуемся алгоритмом.
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Здесь использованы формулы 3,2 из табл. 5.1. и (5.11). Запишем уравнение для изображений:
Решим уравнение для изображений: .
3. Найдем оригинал для функции . Применяя формулы 18,15 из табл. 5.1, получаем
Пример 5.31. Решить задачу Коши: .
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Запишем уравнение для изображений:
2. Решим уравнение для изображений:
3. Найдем оригинал для функции .
Пример 5.32. Решить задачу Коши методами операционного исчисления
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Запишем уравнение для изображений: .
2. Решим уравнение для изображений:
3. Применяя формулы 10,9,8 из табл. 5.1, найдем оригинал для функции
а) Воспользуемся алгоритмом.
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Запишем уравнение для изображений: .
2. Решим уравнение для изображений:
3. Применяя формулы 1,9 из табл. 5.1, найдем оригинал для функции .
б) Решим вторую задачу, пользуясь алгоритмом.
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Запишем уравнение для изображений:
2. Решим уравнение для изображений: .
3. Найдем оригинал для функции .
Пример 5.34. Решить задачу Коши: .
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Запишем уравнение для изображений:
2. Решим уравнение для изображений:
3. По формулам 7, 6 из табл. 5.1 найдем оригинал для функции .
Пример 5.35. Решить систему ДУ: операционным методом.
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Запишем систему уравнений для изображений:
2. Решим систему уравнений для изображений. Из первого уравнения выразим
и подставим во второе: . Отсюда имеем
Разложим каждое слагаемое на элементарные дроби:
3. По формулам 6, 2, 3, 15, 16 из табл. 5.1 найдем оригиналы для функций и
Пример 5.36. Решить задачу Коши: .
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Запишем систему уравнений для изображений:
2. Решим систему уравнений для изображений.
Умножим второе уравнение на , а из первого выразим
Из второго уравнения системы
Представим второе слагаемое в виде
где — неопределенные коэффициенты. Отсюда находим .
При последовательно получаем
3. По формулам 15,2,6,7 из табл. 5.1 найдем оригиналы для функций и
Пример 5.37. Решить задачу Коши: .
Перейдем от оригиналов к изображениям:
Запишем систему уравнений для изображений:
2. Решим систему уравнений для изображений. Для этого умножим первое уравнение на и подставим во второе:
3. По формулам 8, 2, 9 из табл. 5.1 найдем оригиналы для функций и
Замечание 5.8. Во многих практических задачах правая часть дифференциального уравнения задается графически. В этом случае алгоритм решения задачи не изменяется, а для нахождения изображения оригинала, заданного графиком, используются методы, изложенные в разд. 5.1.3.
Пример 5.38. Решить задачу Коши: , где — функция, изображенная на рис. 5.9 (а).
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Функцию можно записать в форме . Ее изображение находится по свойству запаздывания: .
Запишем уравнение для изображений: .
2. Решим уравнение для изображений: .
3. Найдем оригинал для функции . Первому слагаемому по формуле 15 из табл. 5.1 соответствует оригинал . Оригинал для второго слагаемого находится по теореме запаздывания (5.9):
Пример 5.39. Решить задачу Коши: , где — функция, изображенная на рис. 5.9 (б).
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Так как функцию можно записать в виде
то по формуле 9 из табл. 5.1 и по теореме запаздывания находим соответствующее изображение:
Запишем уравнение для изображений: .
2. Решим уравнение для изображений: .
3. Найдем оригинал для функции по формуле 10 из табл. 5.1 и с учетом теоремы запаздывания (5.9):
Пример 5.40. Решить задачу Коши: , где — функция, изображенная на рис. 5.5 (з).
1. Аналогично примеру 5.39 перейдем от оригиналов к изображениям:
Согласно результату примера 5.22,п."з": .
Запишем уравнение для изображений: .
2. Решим уравнение для изображений:
3. Найдем оригинал для функции . Так как
Пример 5.41. Решить задачу Коши: , где — функция, изображенная на рис. 5.5 ( и ).
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Согласно результату примера 5.22 п."и" .
Запишем уравнение для изображений:
2. Решим уравнение для изображений:
3. Найдем оригинал для функции . По формуле 17 из табл. 5.1 с учетом теоремы запаздывания (5.9) получаем
Пример 5.42. Решить задачу Коши: , где — функция, изображенная на рис. 5.5,г.
1. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Согласно результату примера 5.22,г . Запишем уравнение для изображений:
2. Решим уравнение для изображений:
3. Найдем оригинал для функции . Заметим, что .
Согласно формулам 8, 3 из табл. 5.1 этому изображению соответствует оригинал . Раскрывая скобки во втором слагаемом и при меняя теорему запаздывания при , получаем:
Применение интеграла Дюамеля и теоремы Бореля
Рассмотрим задачу решения дифференциального уравнения (5.24) с нулевыми начальными условиями:
Рассмотрим два способа ее решения, применение которых не требует нахождения изображения правой части дифференциального уравнения.
Первый способ. Наряду с уравнением (5.24) рассмотрим уравнение, получающееся из него при , с нулевыми начальными условиями, т.е.
Решением уравнения (5.29) является функция , которая называется единичной переходной функцией.
Применим к задачам (5.24), (5.28) и (5.29) алгоритм решения задачи Коши, описанный в данном разделе.
Перейдем от оригиналов к изображениям:
Так как начальные условия нулевые, то . В результате получаем уравнения в изображениях, соответствующие уравнениям (5.24) и (5.29):
Исключая , находим . Используя интеграл Дюамеля (5.17), можно найти оригинал
Так как в силу (5.29) , то окончательно получаем
На основании (5.30) можно сформулировать алгоритм решения задачи Коши:
Алгоритм решения задачи Коши (5.31) с помощью единичной переходной функции
1. Найти единичную переходную функцию , решая задачу (5.29). Для этого можно применить операционное исчисление или другие методы.
2. Найти производную единичной переходной функции.
3. Определить решение задачи (5.31) по формуле (5.30).
Второй способ. В качестве вспомогательного уравнения для решения задачи (5.24),(5.28) рассмотрим уравнение с правой частью (см. пример 5.10) и нулевыми начальными условиями, т.е.
Решением уравнения (5.32) является функция , которая называется импульсной переходной функцией.
Рассмотрим решение задач Коши (5.31) и (5.32) с помощью преобразования Лапласа. Перейдем от оригиналов к изображениям:
Так как начальные условия нулевые, то
В результате получаем , где . Отсюда находим изображение искомого решения . Согласно теореме Бореля можно найти оригинал по формуле (5.16):
Заметим, что между переходными функциями, как следует из сравнения (5.30) и (5.33), имеется связь:
На основании формулы (5.33) можно сформулировать алгоритм решения задачи (5.31).
Алгоритм решения задачи Коши (5.31) с помощью импульсной переходной функции
Найти импульсную переходную функцию, решая задачу Коши (5.32). Для этого можно применить операционное исчисление или другие методы [45].
По формуле (5.33) найти решение задачи Коши (5.31).
Пример 5.43. Решить задачу Коши: .
1. Составим уравнение (5.29) для единичной переходной функции и решим его, применяя операционное исчисление:
2. Найдем производную единичной переходной функции: .
3. По формуле (5.30) при имеем
1. Составим уравнение (5.32) для импульсной переходной функции и решим его:
2. По формуле (5.33) при имеем
Пример 5.44. Решить задачу Коши: .
Применим алгоритм решения задачи Коши с помощью единичной переходной функции.
1. Составим уравнение для нахождения единичной переходной функции и решим его:
2. Найдем производную от единичной переходной функции: .
3. По формуле (5.30) при получаем
Пример 5.45. Решить задачу Коши: .
Применим алгоритм решения задачи Коши с помощью импульсной переходной функции.
1. Составим уравнение для импульсной переходной функции и решим его:
2. По формуле (5.33) имеем
Замечание 5.9. При решении прикладных задач, в частности задачи анализа выходных процессов линейных динамических систем, возникает необходимость в решении задачи, более общей по сравнению с (5.24), (5.25), где правая часть представляет собой линейный дифференциальный оператор над некоторой функцией:
Здесь — заданная функция; — постоянные коэффициенты; и ), равен сумме эффектов каждого из факторов в отдельности.
Алгоритм решения задачи Коши с помощью принципа суперпозиции
1. Найти решение однородного уравнения (при ), соответствующего уравнению (5.35) с заданными начальными условиями:
Для этого может применяться как операционное исчисление, так и другие методы Полученное решение называется свободным движением и обозначается . Оно характеризует влияние начальных условий. Если начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует, т.е. .
2. Найти решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями:
Полученное решение называется вынужденным движением и обозначается . Оно характеризует влияние функции . Для его нахождения следует:
а) найти импульсную переходную функцию для уравнения . Для этого решить задачу (5.32) с применением операционного исчисления:
б) найти импульсную переходную функцию для уравнения по формуле
в) найти вынужденное движение по формуле, аналогичной (5.33):
3. Найти решение задачи (5.35) в виде суммы свободного и вынужденного движений:
Пример 5.46. Найти решение задачи: .
Решим задачу, используя алгоритм.
1. Найдем решение уравнения (5.36): . Так как начальные условия нулевые, то, очевидно, .
2. Найдем решение уравнения (5.37): . Для этого:
а) найдем импульсную переходную функцию для уравнения , решая уравнение (5.38):
Из п.1 примера 5.45 следует, что ;
б) по формуле (5.39) определим импульсную переходную функцию:
в) по формуле (5.40) имеем
3. Решение задачи получается по формуле (5.41): .
Пример 5.47. Найти решение задачи: .
Решим задачу, используя алгоритм.
1. Найдем свободное движение как решение уравнения (5.36):
Согласно результату примера 5.33, пункт "б", .
2. Найдем вынужденное движение как решение уравнения (5.37):
а) найдем импульсную переходную функцию для уравнения , то есть решим уравнение (5.38):