Решение задач по теме «Интерференция света. Опыт Юнга»
Задача 1.В опыте Юнга два когерентных источника S1 и S2 расположены на расстоянии d = 1 мм друг от друга. На расстоянии L = 1 м от источника помещается экран. Найдите расстояние между соседними интерференционными полосами вблизи середины экрана (точка А), если источники посылают свет длины волны λ = 600 нм.
Интерференционная картина на экране состоит из чередующихся темных и светлых полос, параллельных щелям S1 и S2. Интерференционная картина симметрична относительно центральной полосы, проходящей через точку А (рис. 1). Центральная полоса светлая, она соответствует разности хода Δ = 0.
В точках интерференционных максимумов оптическая разность хода
Δ= λ , где =0, 1, 2,… ; (1)
Условие интерференционных минимумов имеет вид:
Предположим, что в точке В находится k-й максимум на расстоянии ykот центральной полосы. Ему соответствует разность хода Δ= r2 — r1= k λ .
Из треугольника S1BC видно, что , а из треугольника S2BD видно, что .
Из двух последних уравнений получим:
Учтём , что ; . Тогда , откуда:
Используя для максимумов условие (1), получим:
где k = 1, 2, 3, … соответствуют интерференционным максимумам, расположенным выше точки А, а максимумам, расположенным ниже точки А, соответствуют k = -1, -2, -3, … Точке А соответствует центральный максимум (k = 0).
Используя условие интерференционных минимумов (2), можно найти их расстояния от центральной полосы по формуле (3):
Расстояние между соседними интерференционными максимумами (минимумами) называется шириной полосы и соответствует изменению k на единицу, то есть :
Ширина темных и светлых полос одинакова.
Задача 2. В опыте Юнга интерференционная картина по мере удаления от середины размывается, и при k = 4 полосы исчезают. Почему?
В опыте Юнга интерференционная картина представляет чередование интерференционных максимумов и минимумов в виде полос, параллельных щелям S1 и S2. В центре интерференционной картины расположена светлая полоса (k = 0). По обе стороны от центральной полосы расположены максимумы ±1, ±2, ±3, ±4 порядков интерференции. Разность хода между интерферирующими волнами по мере удаления от центральной полосы увеличивается. При этом по мере удаления от центра ухудшается видность и четкость интерференционной картины, полосы размываются и исчезают, по условию последний максимум наблюдается при k = 4. Исчезновение полос означает, что колебания, пришедшие от двух источников S1 и S2, некогерентны. Пока их разность хода не превышала 4 λ, они были когерентны. Следовательно, максимальная разность хода, при которой наблюдается интерференция, будет равна:
Величина называется длиной когерентности. Если оптическая разность хода превышает длину когерентности, интерференционная картина не наблюдается.
Задача 3.Покажите, что при преломлении в призме с малым преломляющим углом α и показателем преломления n луч отклоняется на угол δ ≈(n — 1)α независимо от угла падения, если угол падения также мал. Призма находится в воздухе, n0 = 1.
По построению δ-внешний угол треугольника DCB (рис. 2), он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:
Согласно закону преломления,
По условию угол φ, а значит и β малы, то есть Sinφ≈φ, Sinβ≈β, (выраженному в радианах), тогда nβ=φ, nφ1=β1. Подставив значения φ и β1 в формулу для δ, получим :
Из треугольника СВК: β+φ1=α (α- внешний угол, равный преломляющему углу призмы по построению). Таким образом,
Задача 4. Найдите число полос интерференции N, получающихся с помощью бипризмы, если показатель преломления бипризмы n = 1,5, преломляющий угол рад, длина волны источника λ=600 нм. Расстояние от источника до бипризмы равно а = 1 м, расстояние от бипризмы до экрана равно b = 4 м.
Лучи от источника S, падающие на бипризму, после преломления отклоняются от первоначального направления на угол δ≈α(n-1) (см. Задача 3). Продолжение этих лучей до точки пересечения дает изображение двух мнимых источников S1 и S2 (рис. 3). Они являются когерентными источниками, поэтому в области перекрытия АВ когерентных волн, распространяющихся от этих источников, на экране наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся темных и светлых полос, как и в опыте Юнга. Центральный максимум интерференционной картины (k = 0) проходит через точку О экрана. Максимумы более высоких порядков находятся на расстоянии yk от центра (см. Задача 1).
Здесь L=a+b расстояние от источников до экрана, d — расстояние между мнимыми источниками. Из треугольника SS1K:
Тогда ширина интерференционной полосы:
Число интерференционных полос в области интерференции АВ равно:
Величину области перекрытия АВ найдем из подобных треугольников CS1S и СОВ:
Число наблюдаемых полос интерференции будет равно:
Задача 5. В опыте Ллойда (рис. 4) световая волна, исходящая непосредственно из источника S (узкой щели), интерферирует с волной, отраженной от зеркала 3. В результате на экране Э образуется система интерференционных полос. Расстояние от источника до экрана L = 100 см. При некотором положении источника ширина интерференционной полосы на экране Δу = 0,25 мм, а после того как источник отодвинули от плоскости зеркала на h = 0,6 мм, ширина полос уменьшилась в η= 1,5 раза. Найдите длину λ световой волны.
Решение: В точке М интерферируют две когерентные волны 1 и 2, исходящие из источника S. По построению волну 2 можно считать исходящей из источника , , являющегося мнимым изображением источника S в зеркале 3. Они симметрично расположены относительно плоскости зеркала, обозначим расстояние между ними . Если зеркало S отодвинуть на h, то новое расстояние между равно (рис. 5). Для определения длины волны λ используем выражение для ширины полосы из опыта Юнга, применив его для двух расстояний между источниками.
По условию Δ y = η Δ y1, тогда . Выразим от сюда
Подстановка (6) в (4) дает:
Задача 6.На рис. 6 показана схема интерферометра для измерения показателей преломления прозрачных веществ. Здесь S — узкая щель, освещаемая монохроматическим светом λ = 589 нм, К — коллиматор, дающий параллельный пучок лучей, 1 и 2 — две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых см, Д — диафрагма с двумя щелями S1 и S2 . Когда воздух в трубке 1 заменили аммиаком, то интерференционная картина на экране Э сместилась вверх на N = 17 полос. Показатель преломления воздуха n = 1,000277. Определите показатель преломления аммиака.
Решение: Волны, распространяющиеся от щелей S1 и S2, являются когерентными. На экране Э наблюдается интерференционная картина чередующихся темных и светлых полос. Центральная светлая полоса проходит через точку О и соответствует оптической разности хода Δ = 0, если трубки 1 и 2 заполнены воздухом. Если в трубке 1 воздух заменить аммиаком, показатель преломления n1 которого больше n, то центр интерференционной картины сместится вверх на N полос в точку, соответствующую разности хода, равной нулю, то есть
Заметим, что интерференционный метод определения показателя преломления является высокоточным методом.
Задача 7.Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 10 см разрезана пополам и половинки раздвинуты на расстояние d = 0,5 мм (билинза Бийе). Оцените число интерференционных полос на экране, расположенном за линзой на расстоянии D = 60 см, если перед линзой имеется точечный источник монохроматического света с длиной волны λ= 500 нм, удаленный от нее на расстояние а = 15 см.
Каждая из половинок билинзы Бийе дает изображение источника S. Верхняя половина дает изображение S1, нижняя дает изображение S2 (рис. 7). Чтобы получить изображение S1, выберем два луча: первый луч SC после преломления в линзе пересечет фокальную плоскость РР в точке К, получившейся от пересечения с фокальной плоскостью побочной оптической оси О1О1, параллельной лучу SC. Второй луч SA проходит, не преломляясь, через точку А до пересечения с первым лучом в точке S1, являющейся изображением S в верхней половине билинзы Бийе. Аналогично построим изображение S2.
Источники S1 и S2 когерентны, поэтому в области пересечения световых волн от этих источников на экране получим интерференционную картину как в опыте Юнга.
Число полос на экране будет равно :
Ширина полосы (см. Задача 1) ,), где L = D — b. Величину b найдем из формулы линзы , откуда , где а — расстояние от источника S до линзы, b — расстояние от линзы до изображения S1, F — фокусное расстояние линзы.
Из подобия треугольников SAB и SS1S2 получим:
Подставляя d1 и L в формулу для Δy, получим:
Треугольники SAB и SMK подобны, отсюда величина области перекрытия волн
Тогда число наблюдаемых полос
Задачи для самостоятельной работы
1. В опыте Юнга отверстия S1 и S2 освещались монохроматическим светом с длиной волны λ=600нм. Расстояние d между отверстиями равно 1 мм. Найдите положение трех первых светлых полос на экране, расположенном на расстоянии L = 3 м от отверстий.
Ответ: 1,8 мм; 3,6 мм; 5,4 мм.
2. В опыте Юнга отверстия S1 и S2 освещались монохроматическим светом с длиной волны λ=600нм. На пути одного из интерферирующих лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса смещалась в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Луч падает перпендикулярно к поверхности пластинки, показатель преломления которой n = 1,5. Какова толщина l пластинки?
Ответ: l = 6 10 -3 мм.
3. На пути одного из двух параллельных лучей, распространяющихся в вакууме, поставили плоскопараллельную стеклянную пластинку (n = 1,5) толщиной 6 см. Чему будет равно время запаздывания τ этого луча?
Ответ: τ = 0,1 нс.
4. Во сколько раз изменится расстояние между соседними светлыми (темными) полосами на экране в опыте Юнга, если зеленый светофильтр (λ1=650нм).