автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Формирование умений и навыков доказательных рассуждений по математике в основной школе
Автореферат диссертации по теме "Формирование умений и навыков доказательных рассуждений по математике в основной школе"
На правах рукописи
МУРАДОВА НАИДА БАБАЕВНА
ФОРМИРОВАНИЕ У УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ ДОКАЗАТЕЛЬНЫХ РАССУЖДЕНИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)
диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук
Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики и информатики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Дагестанский государственный педагогический университет»
Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, профессор
Гаджшгурадов Мадрид Лбдуллаевич
Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор
Эрдниев Батыр Люреяевчч;
кандидат физико-математических наук, доцент Кули беков Нурулла Ассадулаевич
Ведущая организация - Карачаево-Черкесский государственный
Защита состоится 27 декабря 2006 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета К 21.051.05 в Дагестанском государственном педагогическом университете по адресу: 367013, г. Махачкала, пр. Г.Гамедова, 17.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дагестанского государственного педагога чес кого университета (г. Махачкала, ул. М. Ярагского, 57).
Автореферат разослан 26 ноября 2006 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор педагогических наук, профессор ¿¿¿^ Магомеддибирова З.А,
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования. Современное динамично развивающееся общество все больше нуждается в высококомпетентных специалистах, способных активно действовать, принимать решения, гибко адаптироваться к изменяющимся условиям жизни и производства. Происходящие изменения в социально экономической сфере общества служат причиной повышения требований в современной школе, к математическому образованию в частности, поэтому сегодня математическое образование в школе находится на пути поиска совершенствования своего содержания и методов обучения.
Осуществляемые реформы общеобразовательной и профессиональной школы направлены на улучшение качества образования, усиление развивающейся функции образования.
Реализация роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся, важное место в которой отводится к умению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике.
Реформирование и демократизация школы дали новый импульс процессу совершенствования содержания, методов и технологии обучения, при этом учитель получил оперативный простор в выборе методов и средств в приобщении учащихся к самостоятельной творческой деятельности. Тем не менее, нынешнее состояние уровня математического образования в нашей стране еще далеко от совершенства.
В связи с этим становится необходимым постоянное повышение эффективности всего процесса обучения, в частности, совершенствования уровня математического образования. Один из путей решения этой задачи — интеллектуальное развитие учащихся, привитие им культуры мышления. Важнейшей частью этой проблемы и необходимым условием ее успешного развития является формирование умений и навыков проведения доказательных рассуждений.
Осуществляемый в настоящее время процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности на формирование нравственности, чему способствует обучение доказательству.
Мышление формируется в процессе изучения каждого предмета. Далеко не последнюю роль в его развитии играет математика. При этом такая работа успешнее проходит у учителя, который проводит ее осознанно и целенаправленно.
Как отмечал А.Н.Колмогоров, «ответственность преподавания математики здесь особенно велика, так как знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики».
Проблема формирования доказательных рассуждений, приемов умственной деятельности при обучении математике состоит не в том, чтобы ввести специально и обособленно логику, как отдельный предмет, а в том, чтобы необходимые элеме1гты логики стали неотъемлемой частью самого преподавания математики, важным инструментом, повышающим его эффективность и влияние на логическое развитие учащихся. «Необходима мыслительная, логическая программа, которая должна быть реализована в начальных и средних классах» (А.А.Столяр).
По результатам тестирования математического образования выпускников 50 стран, Россия попала в группу стран, набравших средний балл, существенно более низкий, чем международный. В основном, результаты тестов российских школьников по второму блоку заданий (процессуальная область) оказались значительно ниже. Поэтому, среди рекомендаций, сделанных но результатам проведенного сравнительного анализа было выделено: за время обучения в средней школе следует достигнуть в возможной большей мере воспитательных целей изучения математики, относящихся к интеллектуальной деятельности и формированию характера. Эти цели сводятся к формированию приемов умственной деятельности (рассуждать, анализировать, абстрагировать, схематизировать, мыслить дедуктивно, обобщать, применять и т.д.).
Таким образом, умение рассуждать, анализировать, аргументировать, логически грамотно излагать свои мысли, проводить доказательные рассуждения при решении задач является одной из основных целей в процессе обучения математике.
Во многих исследованиях, посвященных формированию умений доказывать, действия, составляющие содержание умения доказывать, или вообще не выделяются, или же выделяются, но при этом не выступают в качестве специального объекта исследования.
Поиск путей решения обозначенных проблем привел нас к попытке раскрыть содержание того процесса, результатом которого является усвоение умения доказывать.
В психико-методической литературе проблема формирования доказательных рассуждений у учащихся рассмотрена, в основном, применительно к обучению математике в старших классах.
Указанные обстоятельства подчеркивают актуальность проблемы исследования: поиск путей и средства формирования умений и навыков доказательных рассуждений при обучении математике в основной школе.
Целью исследования является разработка методики формирования умений и навыков доказательных рассуждений у учащихся 5-9 классов.
Объект исследования — процесс обучения математике в основной школе.
Предмет исследования — процесс формирования у учащихся 5-9 классов умений и навыков проведения доказательных рассуждений при обучении математике.
Гипотеза исследования заключается в том, что можно повысить эффективность формирования умений и навыков проведения доказательных рассуждений у учащихся 5-9 классов, если обучение математике вести по разработанной нами методике.
Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы исследования потребовалось решение следующих задач*.
- выявить психолого-педагогические и методические основы формирования у учащихся умений и навыков проведения доказательных рассуждений в процессе обучения математике;
— разработать методику формирования умений и навыков доказательных рассуждении у учащихся основной школы;
- разработать систему упражнений для целенаправленной подготовки учащихся к проведению доказательств и методику внедрения ее в учебный процесс.
Научная новизна исследования заключается в том, что:
- теоретически обоснованы и практически подтверждены возможные пути и средства формирования у учащихся основной школы умений и навыков доказательных рассуждений в практике обучения математике;
- разработана приемы формирования умений и навыков доказательных рассуждений у учащихся основной школы и методика их реализации практике обучения математике.
Теоретическая значимость заключается в том, что:
- выявлены научно-методические аспекты формирования у учащихся основной школы умений и навыков доказательных рассуждений при обучении математике;
- определены пути и средства обучения доказательным рассуждениям, которые могут быть базой при усовершенствовании методики обучения математике.
Практическая значимость состоит в том, что результаты исследования и разработанная система упражнений могут быть использованы в практике учителей и методистов при совершенствовании программ, учебников и методических пособий для школ, педколледжей.
Методической основой для исследования послужили работы психологов и педагогов в области школьного обучения (JT.C. Выготский, А.Н. Леонтьев, П.Л. Гальперин, В.В. Давыдов, Н.Ф. Талызина и др.), а также работы в области современного обновления школьного образования (Ю.М. Колягин, В.М. Монахов, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр, П.М. Эрдниев и др.). На защиту выносятся:
- обоснование целесообразности и возможности подготовки учащихся к проведению доказательных рассуждений при обучении математике;
- система задач и упражнений, способствующих формированию умений и навыков доказательных рассуждений и методика ее реализации. Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются опорой на основные положения в педагогике и психологии; на разнообразные методы исследований, статистические методы обработки результатов экспериментов; на многократные проверки теоретических выводов, практических рекомендаций.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились в течение ряда лет как в сельских, так и в городских школах, в частности: СОШ №37 г. Махачкала, СОШ №33 г. Махачкала, Усемикеитская СОШ Каякентского района.
Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе (1999-2000 гг.) были определены предмет, цель и задачи исследования, проводились наблюдение и анализ психолого-педагогической и методической литературы; готовилось и выборочно проводилось экспериментирование методических рекомендаций.
На втором этапе (2001-2003 гг.) разработаны и определены основные положения предлагаемой методики, а также материал для более широкой экспе-
римешальной проверки. На этом этапе проводился педагогический эксперимент, в котором проверялись наши предложения и рекомендации, обобщались его результаты и вносились коррективы в требования к отбору содержания, 5 систему упражнений, в методические рекомендации.
На третьем этапе (2004-2005 гг.) был проведен обучающий эксперимент, осуществлялся анализ полученных результатов и обосновывалась формулировка окончательных выводов.
Основные положения, результаты и материалы исследования докладывались и обсуждались на ежегодных научно-практических конференциях преподавателей и сотрудников ДГПУ, на методических секциях учителей г.Махачкалы, на встречах со студентами Дагестанского государственного педагогического университета, на учебно-методических семинарах кафедры методики преподавания математики и информатики математического факультета ДГПУ.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка источников и приложений.
Во введении обоснована актуальность проблемы исследования, определены цель и задачи, объект, предмет исследования, сформулирована гипотеза и задачи, решаемые в ходе исследования, обозначены методы, использованные для решения поставленных задач, его научная новизна и практическая значимость, приведены основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе «Теоретико-методологические аспекты формирования умственной деятельности учащихся»:
- анализируются психолого-педагогические теории о возможностях развитая умений н навыков доказательных рассуждений;
- рассматриваются возможности управления процессом формирования доказательных рассуждений через приемы умственной деятельности;
- акцентируется внимание на формировании умений и навыков, лежащих в основе доказательства.
Говоря о приеме аналогии в математике, обычно подразумевают аналогию в изучении десятичных дробей и натуральных чисел, между свойствами алгебраических и обыкновенных дробей, в изучении свойств фигур на плоскости и в пространстве. Прием аналогии широко можно использовать и при обучении доказательству теорем. При доказательстве рассматриваемого утверждения можно использовать доказательство другого утверждения, аналогичного данному. Школьные учебники дают большие возможности использования аналогию при изучении различных тем. Но чтобы использовать прием аналогии в проведении доказательных рассуждений, у учеников должны быть сформированы действия, составляющие этот прием:
а) выявление аналогичных элементов заданных объектов или в заданных предложениях;
б) составление предложений, аналогичных данному;
в) проведение аналогичных рассуждений при доказательстве сходной теоремы и т.д.
Аналогия может быть использована при решении многих задач. Интересные задачи на использование метода аналогии приведены в книге П.М. Эрдние-ва, Б.П. Эрдниева «Аналогия в задачах».
Аналогично анализируется другой прием проведения доказательных рассуждений — обобщение, составляющими которого являются действия и операции:
а) перенос (распространение) свойств одного объекта (фигуры) на другие объекты (фигуры);
б) расширение области изменения параметров при решении задач;
в) использование частного решения для нахождения решения обобщенной задачи;
г) выделение сходных признаков и различий у разных объектов.
Эти действия формируются у учащихся постепенно начиная с младших классов при решении конкретных задач и упражнений.
Часто используется в геометрии при доказательстве теорем и решении задач прием вспомогательных построений. Для нахождения зависимости между двумя фигурами часто приходится ввести вспомогательную фигуру. Аналогом этого метода в алгебре является метод введения нового неизвестного, который широко используется при решении уравнений, содержащих иррациональные выражения.
Возможности для развития мыслительных операций у учащихся, ни у кого не вызывают сомнений. Во втором параграфе рассматриваются вопросы обучения доказательству и их составляющих: подведение под понятие, выведение следствий, построение суждений и определений, проведение классификаций, использование необходимых и достаточных условий и т.д.
В современной педагогической литературе существует большое количество различных подходов к проблеме развития мышления и мыслительных операций у учащихся (С.Л. Рубинштейн, Ж. Пиаже, В.В. Давыдов, И.Г. Песталоц-ци, Л.С. Выготский, Н.Ф. Талызина, Л.И. Ланда и др.).
Затруднения учащихся пи доказательстве могут быть связаны не только с отсутствием необходимых знаний, но и с неумением правильно применять эти знания, правильно анализировать теорему и задачу. Поэтому одной из важных проблем в процессе доказательств является регулирование мыслительной деятельности посредством системы различных правил, указаний и т.д. Для формирования умения доказывать, необходимо предварительно определить, какие операции ученик должен выполнить для обоснования положения теорем, т.е. выделить компоненты, содержащиеся в умении доказывать.
В качестве примера в исследовании рассматривались признаки равенства треугольников, т.е. теоремы, содержащиеся в начальном курсе геометрии. Выделены компоненты умения доказывать на примере доказательства этих теорем и предложена методика их формирования. Такими компонентами являются:
1. Знание признаков искомого понятия.
2. Действия сопоставления данных в условии фигур и фактов с искомыми понятиями.
3. Умение вывести из условия следствия, обнаружить за содержащимися в условии понятиями признаки искомого понятия.
4. Умение использовать дополнительные построения или преображения, связывающую данную фигуру с искомыми понятиями.
Вначале умение доказывать применялось к признакам равенства треугольников. Чтобы проверить возможность переноса умения доказывать на теоремы другого вида, учащимся были предложены задачи на доказательство подобия треугольника.
Процесс формирования умения проведения доказательства математического утверждения является длительным, протекающим на протяжении всех лет обучения. ЛЛ. Никольская, специально изучавшая эту проблему, установила экспериментально, что кратковременное обучение культуре проведения логических рассуждений не дает заметного эффекта. Такой эффект можно достичь, если обучение соответствующим умениям и навыкам проводить в течение длительного времени.
Хотя чаще учащиеся встречаются с необходимостью проведения доказательных утверждений в курсе геометрии, многие навыки и умения проведения доказательства формируются параллельно и на уроках алгебры. Как правило, содержание умения доказательства состоит из последовательности действий, т.е. компонентов умения. Например, требуется доказать, что при любых значениях переменной значение выражения 3(рг—х + 1) — 0,5лг(4лс — 6) является положительным числом. Чтобы решить такую задачу, учащийся должен овладеть следующими навыками:
1) Определение степени выражения (многочлена).
2) Решение квадратного уравнения, вычисление корней квадратного уравнения.
3) Решение квадратного неравенства.
4) Истолкование и выводы из решения неравенства (геометрическое истолкование с помощью графика параболы, методом интервалов на числовой оси).
Если сравнивать перечисленные действия с ранее указанными компонентами умения геометрического доказательства, то легко можно обнаружить некоторую общность в содержании умения доказывать. Так, определение вида выражения является действием сопоставления элементов условия и искомого понятия. Выводы, сделанные из решений уравнений и являются третьей компонентой умения доказывать.
Во второй главе «Методика формирования у учащихся навыков доказательных рассуждений»:
— рассмотрена возможность формирования логических рассуждений при введении математических объектов;
— разработана методика формирования умении и навыков доказательных рассуждений при доказательстве теорем геометрии;
— задачи рассмотрены как средство развития логического мышления учащихся;
— рассмотрены организация и проведение экспериментального исследования, анализ его результатов и выводы. Анализируя методы изучения математических понятий, мы видим, что, как правило, математическое понятие часто формируется у учащихся на уровне математического объекта. При этом забывают, что под понятием понимается система взаимосвязанных суждений, высказанных о соответствующем объекте.
Формирование понятий является системой логических операций, в процессе которых раскрывается содержание понятие, т.е. указываются отличительные существенные признаки предметов, отраженные в данном понятии. Для оптимизации процесса формирования понятия должно быть найдено дидактически целесообразное соотношение в нем интуиции и логики. Важное место в определении такого соотношения имеет рассмотрение их взаимосвязи с позиций диалектики, на что указывал академик А.Д. Александров.
Мы считаем, что прежде чем доказывать первые теоремы геометрии в 7 классе, с учащимися должна быть проведена пропедевтическая работа, чтобы подготовить их к пониманию понятия «доказательство». Для этого необходимо выработать у учащихся навыки выведения различных следствий из условия задачи, на извлечение более полной информации, на формирование стандартов логических рассуждений. Достигнуть этого можно путем использования обычных арифметических упражнений, а также упражнений на распознавание объектов, принадлежащих понятию и не принадлежащих ему.
Задача. Какие из углов 1,2,3,4, изображенных на рисунке являются:
Для решения задачи ученик проводит рассуждения:
— Если у двух углов общая сторона, а две другие их стороны дополнительные лучи, то такие углы являются смежными. Среди углов 1, 2, 3, 4 нет такой пары углов, которая удовлетворяла бы определению смежных углов.
- Если у двух углов, стороны одного дополняют до прямых стороны другого, то такие углы являются вертикальными. Этому условию удовлетворяют углы 1 и 4,
Рассуждения, проведенные в этой задаче, являются двухшаговыми, и они не вызывают трудностей, так как выводы следуют непосредственно из определений названных углов. Но такие упражнения обязательны для построения в дальнейшем последовательности рассуждений в многошаговых доказательствах.
Первые теоремы желательно доказать с использованием введенных аксиом и определений. Если при этом ограничиваться книжным доказательством, то учащиеся будут заучивать формулировки теорем и доказательства, не осмысливая
проводимые рассуждения. Поэтому работу над доказательствами надо продолжить, чтобы проведенные доказательные рассуждения были осмыслены.
В работе учителя но формированию умений и навыков проведения доказательных рассуждений большое значение имеет методика введения теоремы. Как известно, общепринятым является положение о целесообразности открытия различных фактов самими школьниками. До ознакомления учащихся с доказательством теоремы должна быть проведена работа по мотивации изучения теоремы, должна быть рассмотрена система взаимосвязанных упражнений практического характера, решение которых приводит учеников к заключению теоремы. Рассмотрим методику доказательства на примере теоремы о площади треугольника.
Прежде всего, этой теореме предшествует введение понятия площади, где происходит мотивация и актуализируются эти понятия в беседе учителя. Далее организуется коллективная работа для подведения класса к заключению теоремы с помощью следующих упражнений:
1. Вычислите площадь прямоугольника, длины сторон которого равны 25 см и 15 си.
2. Нарисуйте прямоугольник. Пусть его основание равно й, а высота равна А. Запишите формулу его площади.
Рис. 1а Рис. 16 Рис. 1в
3. Найдите равновеликие треугольники на рис. 16.
4. Как вы будете вычислять площадь фигуры на рис. 1в?
5. Как можно найти площадь прямоугольного треугольника АВй, зная площадь прямоугольника АВСО (рис. 2)?
6. Каково соотношение между площадями S¡ и S? прямоугольных треугольников ABD и CBD и площадью треугольника АВС