5.6. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. Автоколебания.
Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.
Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F = -kx, сила трения пропорциональна скорости, т.е.
где r – коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости. При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид
Используя формулу и принимая, что коэффициент затухания
получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы
где х - колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, - коэффициент затухания, 0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.
Решение уравнения (5. 31) в случае малых затуханий :
где (5.33) – амплитуда затухающих колебаний, a А0 - начальная амплитуда; ω0 – частота собственных колебаний; - ω – частота затухающих колебаний,r – коэффициент сопротивления Зависимость (5.32) показана на рис . 34 сплошной линией, а зависимость (5.33) -штриховыми линиями.
Промежуток времени в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается ве раз, называетсявременемрелаксации.
Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие, периода или частоты.
Однако, если затухание мало, то можно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 34). Тогда период затухающих колебаний с учетом формулы (5.31) равен
Если A(t) и A(t + Т) - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение
называется декрементом затухания, а его логарифм
логарифмическим декрементом затухания; Ne - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для данной колебательной системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна
(т.к. затухание невелико , то Т принято равным Т0).
Из формулы (5.35) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации.
Добротность пружинного маятника, согласно (5.35) и (5.30) .
Отметим, что с увеличением коэффициента затухания период затухающих колебаний растет, а при обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда . Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.
Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.
Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).
Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей.
Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т.д.