2+2. Экспериментальная арифметика. Часть и целое.
Как-то пришлось этим заняться – обучать решению арифметических задач. Попросили. Вот такая ситуация. Ребенок, окончивший первый класс обычной школы (пусть будет, скажем, Петя). Несложные тесты показывают – на формальном уровне сложение и вычитание освоено, прямые арифметические задачи решает через предметное моделирование, используя числовой ряд (т.е. в уме), иногда на пальцах. С косвенными же задачами глухо, не решает ни как. То есть Петя понимает (или, точнее, чувствует), что тот способ, каким он справляется с прямыми задачами, здесь не проходит, а что делать не знает.
Задача – научить Петю арифметическому способу решения арифметических задач, т.е. детское творчество по развитию предметного моделирования (описанное в предыдущей части) нас здесь не интересует, ибо непонятно, как от него перейти собственно к арифметике. В педагогической литературе и среди учителей распространена такая точка зрения, что можно перекинуть мостик от счета к арифметическим операциям через процедуры присчитывания\высчитывания: мол присчитали, скажем, 5 раз по единице – значит, пишем "плюс 5". Но как можно было увидеть на материалах исследований (см. предыдущий пост) даже освоение совершенно свободного движения по числовой оси нисколько не приближает ребенка к арифметике (подробнее про "возможность" использования присчитывания для выхода к арифметическим операциям в следующем посте).
Арифметический способ решения существенным образом опирается на категорию "целое-часть", так что надо как-то перенаправить процесс понимания ребенка с предметного моделирования на использование понятий целого и части. Собственно говоря (как уже упоминалось в предыдущих постах), ребенок прекрасно понимает, что здесь, в задачке, – целое, а что – части. Но только это понимание существуют само по себе, в "одном ящике стола", а процедуры и модели решения задачи – "в другом ящике". И одно с другим никак не связано.
Таким образом, задача понятна - придать понятиям целого и части модельные функции (направляющие понимание задачи в нужную сторону) и наполнить их процедурным содержанием, позволяющим решать задачи. Ну и требуется найти или построить методику, с помощью которой можно это сделать.
Проще найти. Есть такая статья: Непомнящая Н.И. «Педагогический анализ и конструирование способов решения учебных задач» в сборнике «Педагогика и логика», «Касталь», М. 1993 (на самом деле сборник был подготовлен в середине 60-х , но вот опубликован был только в 93-м ). И в этой статье как раз подходящий раздел – «Действие с отношением "целое - части" как возможный компонент арифметического способа решения задач»
Методика следующая (поскольку исследовательские моменты меня сейчас не интересуют – надо ребенка обучить, и в предельно сжатые сроки, – то несколько спрямляю и даю "сухой остаток"):
1. Отношение "целое - части" вводится на предметных моделях. Полоска бумаги – "целое", разрываем – получаем "части". Соединяем "части" (полоски) – получаем "целое".
2. Фиксация на действиях с полоской, т.е. введение процедурной интерпретации отношения "целое - части" на предметном уровне. Отрывание полоски – процедура "от целого отняли часть", соединение полосок – процедура "к части прибавили часть"
3. На этих же полосках (т.е. предметно) вводится отношение равенства. Теперь у нас две одинаковые полоски. Фиксируем их равенство. Над одной из полосок измываемся, т.е. отрываем кусок. Затем осуществляем процедуру "к части прибавили часть" и фиксируем, что то, что получилось, равно целой полоске, т.е. "целому". Ну и так же, примерно, со второй процедурой – показывается, что "от целого отняли часть" равно "части" (заранее приготовленной).Здесь существенный момент, что демонстрация идет на двух полосках, которые затем интерпретируются как левая часть формулы и правая.
4. То есть переходим к формализации. Предметные манипуляции выражаем в специальных знаковых формулах - Ч + Ч = Ц и Ц – Ч = Ч.
Общая идея ясна – перевести общее понимание ребенком целого и части в формализованную знаковую структуру, где, вроде, только и остается поставить на место символов Ч и Ц конкретные числа из задачи.
Но это мы (взрослые) понимаем, что Ч и Ц – это места, на которые что-то можно ставить, т.е. как бы переменные особого рода. Но откуда у ребенка-то идея "переменной" (или функционального места)!
Впрочем, дело сорвалось еще раньше. С реализацией и отработкой всех 4 пунктов методики никаких проблем не возникло. Действия с полосками ребенок уверенно переводит в формулы. Но вот когда приступаем к арифметическим задачам (а они заданы в текстовой, а не предметной, форме), то он просто не понимает, какое отношение имеют эти формулы к задаче. В принципе, он может повторить все действия учителя на каком-то классе близких, аналогичных задач – построить формулу и даже подставить числа, и тем самым “решить” задачу. Но стоит дать задачу другого типа или даже просто по-другому сформулированную, и все рушится – формула составляется совершенно случайным образом.
Таким образом, можно зафиксировать, что у ребенка образовалось три разных действительности:
1) действительность формальных операций сложения и вычитания2) действительность формальных (по отношению к арифметической задаче) операций с целым и частью3) и действительность предметного моделирования, в которой он, собственно, и понимает условие задачи.
Все эти три действительности существуют для него отдельно, сами по себе, никак не связанные друг с другом. Н.Непомнящая проводит дальше в статье работу по соорганизации первых двух, формальных, действительностей, используя при этом моделирование на предметных совокупностях (счетных палочках) и специальные знаковые средства (т.е. она уходит от темы собственно арифметических задач). Это очень интересно, но не имеет прямого отношения к нашей задаче, ибо непосредственно не связанно с проблемой понимания условий арифметических задач.
Мы же можем зафиксировать, что пока не удалось "сдвинуть" Петю с предметно-модельного понимания, и формальные формулы (целого и части) никак не могут выполнить такую функцию, как организация нового понимания. То есть нужные знаковые средства другого типа для решения этой задачи.
1) Здесь нужно выделить важную и перспективную идею организации числовых значений из задачки через задание некоей структуры мест. Уже понятно, что формулы – это неподходящая форма для этого, но можно сделать “шаг назад” и обратиться к самим “полоскам”, интерпретируя их как схему условия задачи. Пустые прямоугольники (или коробочки) гораздо лучше выражают идею места.
2) Другой важный момент – процессуальность и даже событийность детского понимания задач. Ведь они через действия с предметами моделируют, как правило, события описанные в задаче. И если даже условия задачи сформулированы статично (или ребенок выделяет действия с совокупностями не в соответствии с сюжетом), то тем не менее он интерпретирует и понимает условие именно через действия, через процессы (отсчета – пересчета).Понятно, что формулы (как арифметические, так и целого-части) есть структурная конструкция, процессуальность в них уже свернута в знаки операций, т.е. в элемент знаковой, статичной структуры.И если даже мы используем в качестве схемы-модели задачи наши полоски (полоска-целое и полоски-части), то все равно это будет изображение структуры, статика.Таким образом, возникает идея придать некую процессуальность самой схеме, а не просто при-говаривать (при обучении) к статичным схемам процедурно-процессуальные смыслы.
Итак, рефлексивный анализ неудачи применения методики дает нам выход на вот такую схему-модель:
Схема состоит из двух частей, подсхем. Первая – процесс объединения двух совокупностей в целое, сверху мы изображаем действие по объединению, снизу – результат, т.е. то, что получается в следующий момент времени. Верхняя половина – действие и начальное состояние процесса, нижняя – конечное состояние
Аналогично, вторая подсхема изображает процесс разъединения одной совокупности в две.Здесь, я хотел бы особо обратить внимание, что я сейчас интерпретирую (и использую в обучении) эту схему через понятие системы или, другими словами, в системной логике. Что предполагает четыре способа, или слоя, интерпретации одной схемы:
1) процессуальный слой, как было сказано выше. Только дополнительно еще укажу на тот момент, что здесь на каждой подсхеме задается два процесса: первый, как уже говорилось, – процесс объединения/разъединения (через фиксацию двух состояний – начального и конечного), и второй – механизм этого первого процесса, а именно – действия по объединению/разъединению, которые выражаются через человечков.
2) структурный. Если при процессуальном прочтении каждой из подсхем, мы задавали два разных состояния, разнесенных по времени, то при структурной интерпретации все элементы схемы рассматриваются одномоментно (точнее, вне времени) – как отношение целого и частей. Таким образом теперь две наши подсхемы, по существу, "схлопываются" в одну. Со структурной точки зрения они совершенно одинаковы. Т.е. через структурную интерпретацию мы переводим как раз преобразование совокупностей в единую категориальную схему "целое-части", которая и является базовой для построения арифметических формул.
3) слой организации материала. Теперь мы трактуем схему как набор мест, которые могут и должны быть заполнены неким материалом, в данном случае –знаковым (числовым) материалом, числами из условия задачи. На первом шаге числа здесь, по существу, выполняют всего лишь функцию меток, названий тех совокупностей, которые включены в процессы первого слоя интерпретации. Таким образом, ребенок, использую эту схему как модель процессов преобразования совокупностей, просто обозначает, именует цифрами то, что разъединяется/соединяется (т.е. "полоски"). Тем самым мы совершенно уходим от счетно-предметного моделирования, ведь собственно чисел (как чисел) здесь пока и вовсе нет, это всего лишь имена, так что нет никакого резона что-либо отсчитывать или пересчитывать. А это и значит, что мы задаем альтернативный (счетно-предметному) способ моделирования и понимания условий задачи.
4) морфологический. А вот на втором шаге, когда все необходимые блоки проименованы "числами", мы меняем процессуальный фокус на структурный и рассматриваем уже полученную конструкцию (схему с положенными на элементы-блоки карточки с цифрами) морфологическим образом – как отношения чисел (теперь уже не просто маркеров, но именно чисел), организованных структурой "целое-части". И дальше (третий шаг) подключаются формальные процедуры – "если у нас заполнено целое и одна из частей – то нужно построить формулу вычитания", "если у нас заполнены части – то нужно построить формулу сложения".
Итак, построены схема и метод организации собственно арифметического понимания арифметической задачи, элиминирующие неадекватное счетно-предметное понимание. (Несложно заметить, что через эту схему легко выйти и сразу на алгебраическое понимание и решение, через введение специального знака-маркера х, которым будет помечаться "полоска"-совокупность, не имеющая числового именования). При этом этапы понимания задачи и непосредственного решения (т.е. формального применения арифметических операций) разведены по разным этапам-шагам, что существенно облегчает обучение.
В случае с Петей введение этой схемы и буквально пара демонстраций по ее использованию дало моментальный результат – ребенок не просто освоил использование схемы, но просто тут же стал решать задачи (всех типов) в уме. Оказалось, что достаточно было переключить способ понимания (все остальные компоненты решения были им уже освоены). Понятно, что не для всех детей и не для всякого возраста будет такой же эффект, но это лишь означает, что надо специально проработать как каждый переход от одной интерпретации к другой, так и способы обучения формальным моментам в процессе решения (некоторые тонкости, возникающие здесь, можно увидеть из вышеупомянутой статьи Н.Непомнящей). Во всяком случае, этот метод дает базовую схему для построения процесса обучения решению арифметических задач, в рамках которой уже можно детализировать те или иные шаги.
Теперь пора возвратиться к основной теме - "логика и педагогика", и посмотреть с этой точки зрения на этот новый материал, чему и будет посвящен следующий пост.