Творческая работа по теме: «Методы решения показательных и показательно-степенных уравнений»

2.2 Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию.

2.3 Метод вынесения общего множителя за скобки.

2.4 Метод замены переменной.

2.5 Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

2.6 Нестандартный метод решения показательных уравнений.

2.7 Графический метод решения показательных уравнений.

2.8 Показательно-степенные уравнения.

4. Список литературы.

Тема моей исследовательской работы «Методы решения показательных и показательно-степенных уравнений».

Я поставил перед собой проблему: В чем заключаются трудности при решении показательных и показательно- степенных уравнений ?

Цель работы: изучение методов решения показательных и показательно степенных уравнений.

Характер работы определил следующие задачи:

- проанализировать литературу по данному вопросу;

- систематизировать сведения о методах решения показательных уравнений;

- изучить методы решения показательно- степенных уравнений;

- совершенствовать технику алгебраических преобразований;

- рассмотреть нестандартные методы решения показательных уравнений.

Объект исследования: показательные и показательно- степенные уравнения

Гипотеза исследования: систематизировать методы решения показательных и показательно-степенных уравнений.

2.1. Определение показательного уравнения.

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

a x =b , где а > 0, а≠1, b>0

2.2. Метод приведения обеих частей уравнения к общему основанию.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени:

Две степени с одним и тем же положительным основанием а≠1 равны тогда и только тогда, когда равны и показатели .Используя это свойство, уравнение

a x = b , где а>0, а≠1, b >0

Многие показательные уравнения решаются методом приведения обеих частей уравнения к общему основанию.

( ) x -1 =( ) -12 x +10 , так как функция y =( ) t убывающая при t € R , то данное уравнение равносильно уравнению

2.3. Метод вынесения общего множителя за скобки.

При решении показательных уравнений используется преобразование, состоящее в вынесении общего множителя за скобки.

Пример №2. Решите уравнение:

5 2 x+ 1 - 3*5 2 x -1 =550

Пример№3 Решите уравнение

4 x -3 x- = 3 x+ -2 2x-1

Сгруппируем члены, содержащие степени с основанием 4 и с основанием 3:

4 x +2 2 x -1 =3 x + +3 x -

2 2 x +2 2 x *2 -1 =3 x *3 0,5 +3 x /3 0,5

Вынесем общие множители за скобки:

2 2 x (1+0,5)=3 x (3 0,5 + 1/3 0,5 )

2 2 x * =3 x ( 4/3 0,5 )

2 2 x -1 *3=3 x -0,5 *4

2 2 x -1 /4 =3 x -0,5 /3

(2 2 ) x -1 ,5 =3 x-1,5

Разделим обе части уравнения на

2.4 Метод замены переменной

Уравнение вида f(а х )=0 при помощи замены переменной а х = t сводится к решению равносильной ему совокупности показательных уравнений

где t 1 , t 2 ,…, tk - все корни уравнения f ( t )=0

Пример №4. Решите уравнение.

Пусть 5 x = t , тогда

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Уравнение 5 x =-3 решений не имеет, т.к. 5 x >0 при x € R

Рассмотрим показательные уравнения, в которых имеются три степени с различными основаниями, являющимися членами геометрической прогрессии, причем эти основания возводятся в одну и ту же зависящую от x степень.

Такие уравнения имеют вид

α a f( x ) +ß b f( x ) +γ c f( x ) =0

где α ≠0,ß,γ- действительные числа, f( x )- некоторая функция, а основания a , b , c удовлетворяют условию b 2 = ac

Уравнения такого вида решаются приведением к квадратному уравнению

α t 2 +ß t +γ=0 и рассмотрением совокупности показательных уравнений,

где t 1 , t 2 - корни квадратного уравнения.(1,стр. 97)

Пример№5 Решите уравнение

3*16 x +37*36 x =26*81 x

В этом уравнении числа 16,36,81 образуют три последовательных члена геометрической прогрессии со знаменателем q = = = .Разделим обе части уравнения на 81 x

3*( ) 2 x +37*( ) x -26=0

Получаем совокупность двух показательных уравнений:

Уравнение вида α a f( x ) +ß b f( x ) +γ=0

где α ,ß,γ- действительные числа, а основания a и b удовлетворяют условию ab =1, можно решать заменой переменной a f( x ) = t , тогда b f( x ) =1/ t и уравнение примет вид at 2 +γ t +β=0, которое приведет к совокупности двух показательных уравнений a f( x ) = t 1 , a f( x ) = t 2 , равносильной исходному уравнению.

Пример №6. Решите уравнение.

5*2 3 x -3 -3*2 5-3 x +7=0

Преобразуем уравнение так:

5*2 3 x -3 -3*2 2 /2 3x-3 +7=0

Пусть 2 3 x -3 = t >0

5 t -12/ t +7=0, умножим обе части на t >0

2.5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

Уравнение вида a f ( x ) = b ,где a >0, a ≠1, b >0 может быть решено при помощи логарифмирования обеих частей уравнения. Логарифмирование обеих частей возможно ,т.к. обе части уравнения положительны. Получаем f( x )= loga b -уравнение ,равносильное исходному

Пример №7 Решите уравнение:

1 способ. Обе части уравнения положительны. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5

log 5 5 2 x -1 = log 5 7 3- x

2 x -1=(3- x ) log 5 7

2 способ. Прологарифмируем обе части по основанию 7.

3 способ. Применим основное логарифмическое тождество 7=5 log 5 7

2.6.Нестандартные методы решения показательных уравнений.

Пример №8.Решите уравнение

Никаким из рассмотренных методов это уравнение не решается. Попробуем найти какое-нибудь решение этого уравнения методом подбора. Это x =1. Пока еще нельзя считать, что уравнение решено, оно может иметь и другие решения. Докажем, что других корней нет. Исследуем функции при x >1, x <1

Пусть x >1. Тогда функция y =( ) x убывает при x € R , значит при x >1

Функция y =2 x возрастает при x € R ,значит при x >1, 2 x >2 1 , 2 x >2

Получим, при x >1, левая часть уравнения меньше 2, а правая часть уравнения больше 2, значит, данное уравнение не имеет корней, больших, чем 1.

Функция y =( ) x убывает (0< <1) при x € R , значит при x <1 ( ) x >( ) 1 , ( ) x + > + ,

Функция y =2 x возрастает при x € R ,значит при x <1, 2 x <2 1 , 2 x <2

Получим, при x <1 ,левая часть уравнения больше 2, а правая часть уравнения меньше 2, значит, данное уравнение не имеет корней, меньших, чем 1.

Итак, x =1- единственный корень уравнения.

2.7. Графический метод решения показательных уравнений

Пример №9. Решите уравнение:

2.8. Показательно-степенные уравнения

Пример №10. Решите уравнение:

( x +3) x 2-3 =( x +3) 2 x

Выражение в левой части и правой части уравнения представляет собой функцию, содержащую переменную как в основании, так и в показатели степени. Это показательно-степенное уравнение. Для решения этого показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть три случая ;когда основание степени равно1;равно 0 и когда оно отлично от указанных значений.

x =-2, то получим 1=1- равенство верное, значит, x =-2- корень уравнения.

x =-3, то получится

0 -6 смысла не имеет.

Поэтому x =-3 не является корнем уравнения.

x +3 1,то приравниваем показатели

При этих значения x получаем соответственно 2 -2 =2 -2 и 6 6 =6 6 –верные равенства, значит x =-1 и x =3 корни уравнения.

Итак, я поставил проблему, провел информационный поиск, систематизировал методы решения показательных уравнений, изучил методы решения показательно- степенных уравнений, нашел пути решения данной проблемы, оформил результат.

1.Крамов В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры.

2. Никольский М.К. Алгебра и начало анализа 11 класса – М.: Просвещение, 2007.

3.Потапов М.К. Алгебра и начало математического анализа 11-М.: «Просвещение», 2008.

4. Семёнов В.А. Ященко А.Н. КИМ ГИА.-М. Просвещение, 2013.

5. Цыпкин А.Г. Пинский А.И. справочное пособие по методам решения задач по математике. -М.: Наука, 1983.

Курс повышения квалификации

Преподавание математики в школе в условиях реализации ФГОС

Сейчас обучается 40 человек из 21 региона

Курс повышения квалификации

Смешанное обучение

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО

Сейчас обучается 191 человек из 54 регионов

«Обзор традиционных и современных методик для формирования навыков арифметических вычислений в уме у младших школьников» Краткое описание документа:

"Описание материала:

Цель работы: изучить методы решения показательных и показательно степенных уравнений.

Характер работы определил следующие задачи: анализ литературы данного вопроса: систематизирование сведений о методах решения показательных уравнений; изучение методов решения показательно - степенных уравнений; совершенствование техники алгебраических преобразований; рассмотрение нестандартных методов решения показательных уравнений. Объектом исследования являются: показательные и показательно - степенные уравнения. Гипотеза исследования: систематизировать методы решения показательных и показательно-степенных уравнений.

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 920 900 материалов в базе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Другие материалы

Математика
Другие методич. материалы

24.06.2014
2367
11

Математика
Рабочие программы

24.06.2014
35383
252

Математика
Презентации

24.06.2014
1108
2

Алгебра
Геометрия
8 класс
Тесты

24.06.2014
1878
0

Геометрия
9 класс
Презентации

24.06.2014
971
3

Математика
Другие методич. материалы

24.06.2014
1134
0

Математика
Презентации

24.06.2014
765
0

«Практический подход в работе с утратой смысла жизни: логотерапия»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

24.06.2014 2455
DOCX 152.5 кбайт
16 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мельникова Оксана Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 8 лет и 4 месяца
Подписчики: 0
Всего просмотров: 8080
Всего материалов: 5

40%

Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов

Дистанционные курсы для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы установленного образца!

«Организация профориентационной работы на современном этапе развития школы»

««Ресурсный учитель» - практики осознанного дыхания для диагностики и регуляции собственного состояния на физическом, эмоциональном и ментальном уровне»

«Карл Бриш: Теория привязанности и воспитание счастливых людей»

Подарочные сертификаты

Курсы «Инфоурок»
Онлайн-занятия с репетиторами на IU.RU

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎