Решение алгебраических уравнений 4-ой степени

Понятие алгебраического уравнения четвертой степени, история его решения. Пример решения биквадратного и возвратного уравнений четвертой степени. Решение Декарта—Эйлера. Анализ схемы метода Феррари, разложения на множители и кубическая резольвента.

Рубрика Математика Вид доклад Язык русский Дата добавления 04.10.2013 Размер файла 227,6 K Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет

Факультет транспортных коммуникаций

Кафедра “Высшая математика №3”

Решение алгебраических уравнений 4-ой степени

Выполнили: студенты группы 11403512

Микулёнок В.А., Ковенко В.Н.

Руководитель: Неверович Т.С.

Решение алгебраических уравнений 4 степени

Уравнение четвёртой степени -- в математике алгебраическое уравнение вида:

f(x)=ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e=0, a<>0

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум.

График многочлена 4-ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари -- Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения было доказано в теореме Абеля -- Руффини в 1824.

1.Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение -- уравнение четвёртой степени вида

Где -- заданные комплексные числа и . Подстановкой

сводится к квадратному уравнению относительно y.

Четыре его корня: .

2. Возвратное уравнение четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для такого, что , решение находится приведением к виду: и после замены ищется решение квадратного уравнения

3.Решение Декарта -- Эйлера

В уравнение четвёртой степени:

алгебраический уравнение биквадратный множитель

Сделаем подстановку и получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

Корни y1, y2, y3, y4 такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

Причём z1, z2, z3 -- это корни кубического уравнения

4. Решение Феррари

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

где a0, a1, a2, a3, a4 - произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени.

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

X 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, (2)

где a, b, c, d - произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

где y - новая переменная.

то уравнение (2) принимает вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y 4 + py 2 + qy + r = 0, (5)

где p, q, r - вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение 2sy 2 + s 2 ,

где s - некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

то уравнение (6) примет вид

или, раскрыв скобки, - в виде

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

а также квадратное уравнение

Вывод метода Феррари завершен.

Пример. Решить уравнение

X 4 + 4x 3 - 4x 2 - 20x - 5 = 0. (12)

Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

X 4 + 4x 3 - 4x 2 - 20x - 5 = (y - 1) 4 + 4(y - 1) 3 - 4(y - 1) 2 - 20(y - 1) - 5 =

= y 4 - 4y 3 + 6y 2 - 4y + 1 + 4y 3 - 12y 2 + 12y - 4 - 4y 2 + 8y - 4 - 20y + 20 - 5 = y 4 - 10y 2 - 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y 4 - 10y 2 - 4y + 8 = 0. (14)

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = - 10, q = - 4, r = 8. (15)

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s 3 + 10s 2 - 16s - 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s 3 + 5s 2 - 8s - 42 = 0. (16)

Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

корни которого имеют вид:

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

корни которого имеют вид:

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Решение биквадратных, симметричных и кубических уравнений, содержащих радикалы. Решение уравнений четвертой степени методом понижения степени и разложения на множители. Применение бинома Ньютона. Графический метод решения уравнений повышенной степени.

презентация [754,7 K], добавлен 29.05.2010

Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.

научная работа [47,7 K], добавлен 05.05.2010

Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.

курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011

Системы уравнений. Запись в виде системы. Линейное уравнение с двумя переменными. Квадратные уравнения второй степени. Упрощенное уравнение третей степени. Переменная в четвертой степени. Множество корней (решений). Способ подстановки. Способ сложения.

реферат [96,3 K], добавлен 02.06.2008

Выведение формулы решения квадратного уравнения в истории математики. Сравнительный анализ технологий различных способов решения уравнений второй степени, примеры их применения. Краткая теория решения квадратных уравнений, составление задачника.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎