Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Матрицы и определители. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами и их свойства. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Перемножение матриц. Блочные матрицы. Прямая сумма матриц. Определители. Понятие определителя. Теоремы о разложении определителя по i-ой строке и по j-му столбцу. Подстановка. Инверсия. Выражение определителя непосредственно через его элементы. Теорема Лапласа (без доказательства).Свойства определителей. Свойство равноправности строк и столбцов. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или столбцов). Линейное свойство определителя. Следствия этих свойств. Понятие алгебраического дополнений. Свойство алгебраических дополнений соседних строк (или столбцов). Примеры вычисления определителей. Определитель суммы и произведения матриц. Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы (доказательство). Понятие линейной зависимости строк. Теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости строк (доказательство). Понятие ранга матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре (доказательство). Теорема о необходимом и достаточном условии равенства нулю определителя (доказательство).
Линейные пространства. Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Теорема о существовании и единственности нулевого элемента (доказательство). Теорема о существовании и единственности противоположного элемента (доказательство). Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства. Теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости элементов линейного пространства (доказательство). Базис и координаты. Единственность разложения элементов относительно базиса. Размерность линейного пространства. Теоремы о связи размерности линейного пространства и его базиса. Понятие изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфизме двух n- мерных пространств. Понятие подпространства и линейной оболочки. Примеры. Теорема о размерности линейной оболочки. Новое определение ранга матрицы. Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства. Прямое и обратное преобразования базисов. Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат.
Системы линейных уравнений. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. Нетривиальная совместность однородной системы. Теорема о необходимом и достаточном условии нетривиальной совместности. Условие совместности общей линейной системы. Теорема Кронекера - Капелли. Отыскание решений линейной системы. Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля. Формулы Крамера. Матричный способ решения системы. Отыскание всех решений общей линейной системы. Свойства совокупности решений однородной системы.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Линейные операции над векторами. Основные свойства линейных операций. Разность векторов. Основные теоремы о проекциях. Разложение векторов по базису. Скалярное произведение векторов и его основные свойства. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Векторное и смешанное произведения векторов. Векторное произведение и его основные свойства. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов. Уравнение плоскости и уравнение прямой. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости “в отрезках”. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой. Некоторые кривые второго порядка. Эллипс. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения. Параметрические уравнения эллипса Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Парабола. Каноническое уравнение параболы.
Комплексные числа. Понятие комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Операции над комплексными числами и их свойства. Возведение в n-ю степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Свойства сопряженных комплексных чисел.
Линейные операторы. Определение линейного оператора. Действия над линейными операторами. Пространство линейных операторов. Свойства множества L(V,V) линейных операторов. Понятие обратного линейного оператора. Необходимое и достаточное условие существования обратного оператора. Понятия образа и ядра линейного оператора. Ранг линейного оператора. Свойства ранга линейного оператора. Матрицы линейных операторов. Теорема о связи ранга оператора и ранга матрицы этого оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Жорданова форма матрицы линейного оператора.