. §2. Специальные точки множеств
§2. Специальные точки множеств

§2. Специальные точки множеств

Пусть x0 е R n , Xс R n , XФ0 .

Рассмотрим важные соотношения между точкой x0 и множеством X .

П 1. Внутренние точки. x0 называется внутренней точкой X, если она входит в X вместе с некоторой своей окрестностью: x0 е V(x0) с X.

Пример

X = ( 0,5] |J на R.

x0 = 1 - внутренняя для X: 1 е (0,9;1,1) с X.

x0 = 12 - невнутренняя для X: 12 е X.

x0 = 0 - невнутренняя для X: 0 е X.

X = 5 - невнутренняя для X: "e> 0, (5 -e,5 + е)ё X, ибо 5 + eеX,еф 2.

X = 7 - не внутренняя для X: "e > 0,(7 - e, 7 + e) ё X. Итак, все внутренние точки X входят в X, но не всегда x0 е X есть внутренняя точка X. Точки, не входящие в X, внутренними для X не являются.

Множество всех внутренних точек называется внутренностью данного множества, или его ядром. Обозначение

Для X = (0,5] J , IntX = (0,5).

П 2. Внешние точки. x0 называется внешней точкой для X, если она внутренняя для его дополнения. Множество всех таких точек называется внешностью множеств. Для X = (0,5)u внешностью X есть множество (-¥, 0) u (5,7) u (7, +¥).

Внешние точки в множество не входят.

П 3. Граничные точки (по-украински: межов^. Пример показывает, что есть точки (в примере это 0,5,7), которые не являются внутренними ни для X, ни для с X. Они тоже важны.

x0 называется граничной точкой X , если в каждой ее окрестности есть и точки X , и точки его дополнения. Множество этих точек называется границей (на украинском языке - межа) множества. Обозначение: FrX .

Для X = (0,5]u , X = (0,5]u, FrX = (0,5]u . Пример показывает, что граничные точки могут входить в X , могут и не входить. Соотношение между X и FrX различны:

X = [0,1], FrX = с X.

X = (0,1], FrX = ё X, FrXп X, X = (0,1), FrX = , FrXп X = 0.

П 4. Изолированные точки. x0 называется изолированной

точкой X , если она имеет окрестность, в которой, кроме нее, нет других точек X . Итак, изолированные точки всегда входят в X.

Для X = (0,5) u изолированной будет только x0 = 7. X может не иметь изолированных точек: X = (0,1). X может иметь часть точек изолированными:

X может состоять из изолированных точек X =.

Каждая изолированная точка граничная: в X входит она сама, в cX входят другие точки указанной окрестности. Изолированные точки - не внутренние и не внешние.

П 5. Предельные точки. x0 называется предельной точкой X , или точкой сгущения, или точкой накопления, если в каждой ее окрестности есть точка x* е X, x* Ф x0. Другими словами,

каждая окрестность V (x0) содержит бесконечное множество

точек X . Множество предельных точек называется предельным, или производным множеством. Обозначение: X'. Для X = (0,5)U , X' = [0,5]. 0е X', так как в

(-e,e), e> 0 справа содержится бесконечное множество точек

из X. 7 е X': в достаточно малой окрестности т. 7 из X есть только она сама. Как показывает пример, не все точки X могут входить в X'. С другой стороны, возможно, что в X' входят точки, не принадлежащие X. Изолированные точки в X' входить не могут. Все внутренние точки - предельные, так что Int X с X'. Граничные точки могут входить в X', могут не входить (если они изолированные). Граничная точка либо предельная, либо изолированная.

Для x0 е X есть 2 и только 2 возможности:

"V(x0) имеет точку x* е X, x* Ф x0 тогда, x0 предельная.

$ V(x0): в котором, кроме x0, нет других точек из. Тогда x0 = изолированная.

Эти варианты несовместимы. Может быть, что X' = 0, если X состоит только из изолированных точек. Например, X = .

П 6. Точка прикосновения. x0 называется точкой прикосновения, если в любой ее окрестности есть точка из X .

Множество этих точек называется замыканием множества Х. Обозначение: X или [ X].

Точки прикосновения похожи на предельные, но их определение «более либерально»: не требуется, чтобы точка из окрестности была отлична от x0 . Поэтому предельная точка

является точкой прикосновения. X = [0,1] j ,3 е X, но

Также X с X, т. к. можно взять саму x0 е X. Изолированные точки входят в X, но не входят в X'. Граничные точки входят в X: FrX с X, т. к. имеют в любой своей окрестности точки из X .

Для X = (0,5] j , X = [0,5] j .

Установим связь специальных точек с предельными переходами.

Теорема 1

Х 0 е X Хп )пеМ : Х п е X x n ® Х 0 .

Необходимость. Пусть x0 е X. Vпе М в Ш(Л0,1/п) выберем xn е X. Получаем (xn) , р(xn, x0 )< 1/n ® 0, т. е. xn ® x0 при n ® +¥ .

Достаточность. Пусть $(xn) :xn е X, xn ® x0. Тогда

"ше N$n0 е М: n> n0 ^ xn е Ш(m). mе N возьмем

достаточно большим для того, чтобы Ш(Л0,1/m) вошел в VV(x0) наперед заданную. Тогда VV(x0) имеет точку xn е X ^ x0 е X.

Отсюда получается важный результат.

Теорема 2

Замыкание множества состоит в точности из всех пределов всех сходящихся последовательностей точек этого множества. Аналогично для предельного множества.

Теорема 3

x0 е X' ^ существует последовательность попарно различных точек из X , сходящаяся к x0 .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1, только при построении (xn )n_N нужно в каждом шаре

Ш(Л0,1/п) брать xn отличным от всех предыдущих. Это возможно, т. к. "V (x0) имеет бесконечное множество точек из X.

Теорема 4

X' состоит в точности из всех пределов всех сходящихся последовательностей попарно различных точек множества X .

В классическом анализе известна важная теорема Больцано - Вайерштрасса о том, что каждая ограниченная последовательность имеет собственно сходящуюся подпоследовательность. С учетом теоремы 3 получаем вариант этой теоремы в терминах специальных точек.

Теорема 5. (Б. Больцано - К. Вайерштрасс).

Каждое бесконечное ограниченное множество имеет предельную точку. Замечание.

Условия бесконечности и ограниченности необходимы. Пример 1

X = в R. Ограничено, но конечно, X' = 0. Пример 2

X = N в R. Бесконечно, но неограниченно, X' = 0.

Перейдем к изучению двух важнейших классов множеств - открытых и замкнутых.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎