решения систем линейных алгебраических уравнений
Решением (1) называется набор значений неизвестных , обращающий все уравнения системы в числовые равенства. СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае СЛАУ называется несовместной.
СЛАУ называется определенной, если имеет только одно решение и называется неопределенной, если имеет более одного решения,
Однородная СЛАУ всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение.
Совокупность всех решений СЛАУ называется общим решением. Две СЛАУ называются равносильными, если множества их решений совпадают. Любые две несовместные СЛАУ с одинаковым числом неизвестных считаются равносильными.
называется матрицей (или основной матрицей ) системы (1).
называется расширенной матрицей системы (1).
Элементарными преобразованиями СЛАУ называются следующие преобразования:
1. перемена местами двух уравнеий системы;
2. умножение обеих частей одного уравнения на число, отличное от нуля;
3. прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на некоторое число.
Дадим еще несколько определений для матриц системы (1).
Матрицу назовем приведенной,если в каждой ее ненулевой строке имеется ненулевой элемент такой, что все остальные элементы столбца, содержащего этот элемент, равны нулю. Указанный ненулевой элемент назовем ведущим и будем заключать его в угловые скобки.
Пример 1. Матрицы
являются приведенными, а матрица
приведенной не являются, т.к. во 2-ой строке нет ведущего элемента.
Отметим, что ведущий элемент в строке можно выбрать не- единственным способом.
Например, в матрице
в первой строке в качестве ведущего можно выбрать любой ненулевой элемент.
СЛАУ называется приведенной, если ее основная матрица приведенная.
При решении систем линейных алгебраических уравнений зачастую вместо самих систем выписывают их расширенные матрицы. При этом элементарным преобразованиям системы соответствуют элементарные преобразования расширенной матрицы ( см. [8], стр.11):
1. перемена местами двух строк матрицы ;
2. умножение одной из строк матрицы на число, отличное от нуля ;
3. прибавление к строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число ( -прибавление к ой строке ой строки, умноженной на . Обратите внимание, что при таком преобразовании изменяется я строка, а я остается неизменной).
Проведение одного элементарного преобразования в СЛАУ вида (1) равносильно проведению соответствующего строчного элементарного преобразования в матрице вида (3).
Метод Гаусса исследования СЛАУ сводится к построению с помощью элементарных преобразований приведенной СЛАУ, равносильной исходной системе, и последующего изучения приведенной СЛАУ.
Метод Гаусса основан на следующих двух теоремах.
Теорема 1. СЛАУ, полученная из исходной СЛАУ с помощью конечного числа элементарных преобразований, равносильна исходной СЛАУ.
Теорема 2. Для любой СЛАУ существует равносильная ей приведенная СЛАУ.
Отметим, что, как правило, приведенная СЛАУ, равносильная исходной СЛАУ, определяется неединственным образом.
Исследование приведенной СЛАУ распадается на 2 этапа.
1 этап. Совместность и несовместность.
Если расширенная матрица приведенной СЛАУ содержит строку вида , где , т.е. сама приведенная СЛАУ содержит уравнение вида:
то она несовместна. Следовательно, несовместна и исходная СЛАУ.
Если же приведенная СЛАУ не содержит уравнений вида (4), то она совместна. Следовательно, совместна и исходная СЛАУ.
Заметим, что появление уравнения вида (4) в процессе построения приведенной СЛАУ уже свидетельствует о несовместности исходной СЛАУ.
2 этап. Описание общего решения.
В каждой строке приведенной СЛАУ есть ведущий элемент. Неизвестные, отвечающие ведущим элементам, назовем связанными, остальные неизвестные - свободными. Так как в каждом уравнении приведенной СЛАУ содержится только одно связанное неизвестное, отсутствующее в остальных уравнениях, то придавая свободным неизвестным произвольные значения, мы единственным образом определяем значения связанных неизвестных, а, значит, и решение СЛАУ. Ясно, что при наличии свободных неизвестных СЛАУ будет неопределенной и имеет бесчисленное множество решений.
Описание общего решения дается следующим образом. Пусть, например переменные связанные, а переменные свободные, тогда матрица приведенной СЛАУ (с точностью до отброшенных нулевых строк) имеет вид
Здесь, не нарушая общности, мы считаем, что ведущие элементы равны 1. Этого всегда можно добиться с помощью элементарных преобразований 2-го типа. Сама приведенная СЛАУ имеет вид:
а формулы, выражающие связанные переменные через свободные, принимают вид
Иногда последние формулы называют общим решением исходной СЛАУ.
Однако, строго говоря, общим решением исходной СЛАУ является вектор
где - произвольные действительные числа.
Для получения частного решения параметрам в формуле (6) следует придать конкретные числовые значения.
В случае отсутствия свободных переменных все переменных являются связанными, а матрица (5) приведенной СЛАУ имеет вид:
Поэтому СЛАУ является определенной, и ее единственное решение имеет вид .
В приводимых ниже примерах необходимо выяснить, совместна ли система, а если да, то найти ее общее решение и одно из частных решений. Пример 2.
Выпишем расширенную матрицу системы:
В качестве ведущего возьмем второй элемент в первой строке и выполним следующие преобразования: . Это даст матрицу:
Итак, в первой строке есть ненулевой элемент, в столбце которого все остальные элементы нули.
Прежде чем двигаться дальше, обратим внимание на то, что третью строку матрицы, соответствующую уравнению , можно упростить (сократим обе части уравнения на три). При этом матрица системы примет вид
В качестве ведущего элемента третьей строки выберем первый. Выполним преобразования: . Это даст матрицу:
Производя сокращение во втором уравнении и выбирая за ведущий третий элемент во второй строке матрицы, получим, выполнив преобразования :
Итак, матрица системы приведеная. Все неизвестные связанные, свободных неизвестных нет. Следовательно, система имеет единственное решение или .
Для того, чтобы убедиться в правильности полученного результата, рекомендуем делать проверку. Для этого необходимо подставить полученные значения в исходные уравнения и убедиться, что последние обращаются в равенства.
Матрица системы теперь приведенная. В соответствии с выбором ведущих элементов связанными неизвестными будут . Следовательно, - свободное неизвестное.
Выпишем полученную систему:
Выразим связанные неизвестные через свободные:
Получаем общее решение
Для нахождения частного решения положим, например, , тогда
Итак, исходная система совместная и неопределенная, общее решение задается выражениями (7), одно из частных имеет вид (8).
Выше говорилось о том, что ведущие элементы матрицы можно выбирать по-разному. Так, если начать преобразования, выбирая первым ведущим 5-ый элемент в 1-ой строке, то в итоге получим :
Здесь уже свободным неизвестным будет переменная , а общее решение примет вид:
Остановимся отдельно на случае систем однородных линейных уравнений.
Такая система всегда совместна, т.к. ей удовлетворяет нулевой набор значений неизвестных. Поэтому основным здесь является вопрос о существовонии ненулевого (нетривиального) решения.
Свободных неизвестных нет, следовательно, исходная система имеет лишь нулевое решение.
Как уже отмечалось выше, отбрасывание нулевой строки ( в данном случае последней) приводит к равносильной системе, т.е. получаем:
Переменые - связанные, - свободные. Следовательно, нетривиальные решения исходной системы определяются формулами:
а общее ее решение имеет вид:
А теперь рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которых могут зависеть от параметра. Здесь задача ставится так: выяснить при каких значениях параметра система совместна и найти эти решения.
Если параметр входит в один коэффициент системы, целесообразно при использовании метода Гаусса проводить такие элементарные преобразования, которые не приводят к "расползанию" параметра по матрице.
На этом мы замечаем, что при , т.е. при , система несовместна, а при система является определенной, так как проводя преобразование , мы получаем, что
и, следовательно, единственное решение системы имеет вид:
Например, при . Предлагаем читателю для вычислительного контроля проверить,что при вектор действительно удовлетворяет исходной системе уравнений.
Наличие параметра в СЛАУ не обязательно приводит к существованию таких его критических значений, как в примере 6, при которых СЛАУ меняет свое качество.
Таким образом, рассматриваемая СЛАУ при любых значениях является определенной, а ее единственное решение имеет вид:
Предлагаем читателю убедиться, что при любых значениях данная СЛАУ является несовместной.
Если параметр входит в несколькокоэффициентов рассматриваемой системы уравнений, прежде чем применять метод Гаусса, часто целесообразно, провести вспомогательные преобразования, учитывающие структуру матрицы СЛАУ.
Проведем следующее вспомогательное преобразование:
Ясно, что при система несовместна. Полагая , проводим преобразование , после этого следуем стандартному алгоритму метода Гаусса.
Из вида последней матрицы следует, что мы обнаружили еще одно критическое значение параметра .
Если , мы можем провести элементарное преобразование , .
И тогда, применяя стандартный ход метода Гаусса, получаем, что:
то есть СЛАУ является определенной, а ее единственное решение имеет вид
Если же , мы получаем СЛАУ
которая совместна и неопределена, а ее общее решение имеет вид:
Таким образом, при исходная СЛАУ несовместна, при и она определена и имеет решение вида (9), а при и она совместная, неопределенная и имеет общее решение вида (10).
Для того, чтобы эта система была совместна, необходимо, чтобы , т.е. . Тогда общее решение имеет вид:
Пример 11. При каких значениях параметра система
имеет ненулевые решения.
Пусть (случай исследуем отдельно). Сократим во втором уравнении на . Получим:
Аналогично, если , то имеем систему с матрицей
Следовательно, если , система имеет лишь тривиальные решения. При имеем систему:
Используя предыдущие выкладки, получаем:
Так как является свободной переменной, то общее решение СЛАУ в этом случае имеет вид
При имеем систему
Используя предыдущие выкладки, получаем
В этом случае общее решение СЛАУ имеет вид
2.Простейшие матричные уравнения и матричная форма СЛАУ
Простейшые матричные уравнения имеют вид:
где A,B, F, G, H - известные матрицы, а X, Y, Z - неизвестная матрицы соответствующих размеров (см. , стр.7).
Если матрицы и B квадратные и обратимые,тогда уравнения (11) - (13) разрешимы при любых правых частях F, G и H ( соответствующих размеров) и имеют единственные решения, которые определяются по формулам
Матричные уравнения тесно связаны с системами линейных алгебраических уравнений.
Отправляясь от СЛАУ вида (1), введем столбец неизвестных и столбец правых частей . Тогда произведение , где имеет вид (2), существует, а СЛАУ (1) может быть представлена в виде матричного уравнения (11), эквивалентного ей в том смысле, что они одновременно несовместны или совместны, а в последнем случае имеют одинаковые решения.
Если матрица обратима, то уравнение (11), а с ним и СЛАУ вида (1), совместны при любых , а их единственное решение имеет вид (14).
Заметим, что в последнем случае применение метода Гаусса к СЛАУ (1) приводит исходную расширенную матрицу к виду , где -единственное решение (1).
Пример 12. Вернемся к примеру 2. Проводя в приведенной матрице элементарные преобразования , получаем
Если матрицы и в уравнениях (11) - (13) необратимы ( например, они могут быть неквадратными), тогда эти уравнения следует сводить к равносильным им системам линейных алгебраических уравнений следующим способом.
Пример 13. Решить матричное уравнение
при различных значениях .
необратима, так как
и, следовательно, непредставима в виде произведения элементарных матриц ( см. , стр. 14-17 ).
Поскольку - квадратная матрица второго порядка ( это следует из условия перемножимости матриц, , стр. 7-8 ), положим
Подставляя эту матрицу в уравнение (17), проводя умножение и используя принцип равенства матриц ( , стр. 4 ), получаем равносильную систему линейных алгебраических уравнений следующего вида
Эту систему решаем методом Гаусса,
откуда следует, что СЛАУ (18) совместна тогда и только тогда, когда выполнены условия
При выполнении последних условий СЛАУ (18) является неопределенной, а ее общее решение имеет вид
Но тогда матричное уравнение (17) разрешимо только для тех правых частей , которые имеют вид
а общее решение этого уравнения определяется формулой
Пусть, например, , тогда
Действительно, с помощью простых вычислений убеждаемся, что
3. Применение метода Гаусса для нахождения обратной матрицы
Рассмотренный выше метод Гаусса решения систем линейных уравнений позволяет указать один из способов нахождения обратной матрицы.
Как следует из определения матрица будет обратной матрицей для матрицы тогда и только тогда, если
В то же время, если матрица обратима, то она может быть найдена как единственное решение уравнения
Покажем, как можно найти матрицу из уравнения (20) . Если элементы матрицы рассматривать как неизвестные, то это равенство можно трактовать как систем линейных уравнений, матричная форма которых имеет вид
где тые столбцы матриц и (это следует из правила умножения матриц и определения равенства матриц). Отсюда следует, что тый столбец обратной матрицы мы получаем на месте столбца свободных членов после преобразования матрицы соответствующей системы уравнений в единичную.
Поскольку у всех этих систем одна и та же матрица, то можно все эти системы преобразовывать одновременно, т.е. вместо матриц вида рассматривать сразу матрицу . Если при этом матрицу преобразовать в единичную с помощью строчных элементарных преобразований, одновременно подвергая тем же преобразованиям и матрицу , то на месте последней получаем матрицу .
Указанная процедура позволяет одновременно ответить на вопрос: обратима ли матрица ? Если описанный процесс позволяет преобразовать матрицу в единичную, то это матрица обратима. Если же строчными элементарными преобразованиями матрицу в единичную превратить нельзя, то необратима. Сигналом необратимости матрицы является появление нулевой строки в процессе ее приведения к виду .
Пример 14. Выяснить, является ли матрица обратимой и в случае ее обратимости найти матрицу .
т.е. матрица обратима и
Здесь в левой части единичную матрицу получить уже не удается. Следовательно, матрица необратима.
Пример 15. Решить матричное уравнение , где и
Исследуем матрицы и на обратимость
то есть, матрица обратима и
то есть матрица обратима и
Но тогда исходное матричное уравнение разрешимо, а его единственное решение определяется по формуле (16):
Алгоритм, используемый при нахождении обратной матрицы, удобно применять и для решения уравнений (11) и (12), особенно в тех случаях, когда заранее известно, что матрицы и обратимы. В самом деле, повторяя для уравнения (11) рассуждения, проведенные выше для уравнения (20), можно заметить, что применение метода Гаусса к матрице
дает решение уравнения (11).
Пример 16. Решить уравнение
Наконец, заметим, что применение операции транспонирования к уравнению вида (12) сводит его к уравнению вида (11), относительно неизвестной матрицы ,
Историческая справка.
Метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решений системы линейных уравнений опубликован в 1849 году немецким математиком, физиком и астрономом Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855гг.). Но уже во 2 в. до н.э. в Китае был известен метод фан-чен решения системы линейных уравнений с неизвестными, по существу совпадающий с методом Гаусса, от которого он отличается тем, что все операции проводятся на счетной доске (само название "фан-чен" переводится как "выстраивание чисел по клеткам"). Правильное расположение чисел на доске заменяло китайскому математику буквы и индексы нашей символики.
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т.1, М., 1970.