Решение задач асимметричной упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»
Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Бытев Владислав Олегович, Слезко Ирина Викторовна
В статье рассмотрена двумерная модель деформации асимметричноупругого тела. Приведено точное решение задачи плоской асимметричной теории упругости о чистом изгибе полосы, ослабленной квадратным отверстием. Проведен сравнительный анализ полученного решения с классическим.
Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Бытев Владислав Олегович, Слезко Ирина Викторовна
Текст научной работы на тему «Решение задач асимметричной упругости»
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АСИММЕТРИЧНОЙ УПРУГОСТИ1
© 2008 В.О.Бытев2 И.В. Слезко3
В статье рассмотрена двумерная модель деформации асимметрично-упругого тела. Приведено точное решение задачи плоской асимметричной теории упругости о чистом изгибе полосы, ослабленной квадратным отверстием. Проведен сравнительный анализ полученного решения с классическим.
Ключевые слова: деформация, двумерная модель, плоская задача, упругая модель, изгиб полосы.
1. Предварительные сведения
В настоящее время наряду с классической математической теорией упругости развивается асимметричная упругость. Согласно новой теории тензоры напряжений и деформаций связаны несимметричным тензором преобразования [1]. Структура последнего установлена посредством группового анализа законов сохранения механики сплошных сред. Возникает необходимость обоснования применения новой модели при решении задач теории упругости.
Как известно, уравнения статики упругого тела в случае деформации, параллельной плоскости ОХУ, можно записать в тензорной форме:
где Т —тензор напряжений, Р — вектор объемных сил.
Для случая двух пространственных переменных вид тензора напряжений асимметричной модели установлен В.О.Бытевым [1]
1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Ю.Н. Радаевым.
2Бытев Владислав Олегович (vbytev@utmn.ru), кафедра математического моделирования Тюменского государственного университета, 625003, Россия, г. Тюмень, ул. Семакова, 10.
3Слезко Ирина Викторовна (skezkoirina@rambler.ru), кафедра математического моделирования Тюменского государственного университета, 625003, Россия, г. Тюмень, ул. Семакова, 10.
где I — единичный тензор, u — вектор смещений,
Здесь u, v — компоненты вектора смещений, Xo, И, Ио — кинетические параметры. Заметим, что Xo > 0, И > 0, а Ио может принимать любое вещественное значение.
Классическая двумерная модель деформации упругого тела предполагает выражение компонент напряжений и вектора смещений через потенциалы Колосова—Мусхелишвили ф(г) и y(z) ( [2])
оп + О22 = 4Ие[ф'(г)1, о22 - оц + 2ian = 2[гф"(z) + у'(Х)],
2ц(и + гV) = Кф(г) - гф' (г) - у (г), (1.1)
где к = —-- = 3 -4о; X, [1 — модули упругости Ламе (X > 0, ¡1 > 0), о —
Далее рассматривается неклассическая двумерная модель асимметрично-упругого тела, которую будем называть моделью В.О.Бытева.
Согласно асимметричной модели В.О.Бытева комплексное представление компонент напряжений совпадает с классическим, а вектор смещений имеет вид:
где Кх = ^ + г^о. При ^о = 0 и Ло = Л + ^ из (1.2) получаем уравнение (1.1).
Рассмотрим две комплексные плоскости Z, П и зададим конформное отображение г = ш(£), которое преобразует область S с Z в область £ с П. Введем на плоскости П полярные координаты (р, так что ш = рвг®. Полярное представление компонент напряжений будет иметь вид:
ом - Орр + 2/Орв = 2[£ф"£) + У(0]еШ-Вектор перемещений (1.2) перепишется в виде
2. Основные результаты
В качестве примера плоской деформации асимметрично-упругих пластин рассмотрим чистый изгиб полосы (балки). Как известно, напряжения при чистом изгибе балки определяются формулами
Од- = -—у, Оу = 0, т„ = 0,
где М — изгибающий момент, ] —момент инерции поперечного сечения балки.
Пусть в балке имеется квадратное отверстие, центр которого совпадает с началом координат. Размеры отверстия малы по сравнению с высотой балки и контур отверстия свободен от внешних напряжений. Пусть, также, ось ОХ совпадает с нейтральной линией балки.
Направление осей координат, действие изгибающего момента М, вид отверстия и его расположение см. на рис. 1.
Рис. 1. Чистый изгиб пластины с квадратным отверстием
Отобразим внешность отверстия на внутренность круга единичного радиуса. Возьмем отображающую функцию, удерживая в ней два члена [3]:
Введем полярные координаты (р, ft) так, что Z = peift. Разделив в функции w(Z) действительную и мнимую части, при р = 1 получим уравнения контура отверстия
х = —(6 cos ft - COS 3ft),
у = —(6 sin ft + sin 3ft). 6
Если выразить R через длину квадратного отверстия, то получим R = = 3a/5, где a — длина стороны, измеряемая по оси OX (или OY). Радиус закругления углов криволинейного квадратного отверстия r = R/10 = 3a/50. Радиус закругления углов зависит от количества удерживаемых в отображающей функции членов.
Согласно [3] выражения для функций напряжения даются уравнениями
Для модели (1.3) получены аналитические выражения компонент напряжений и вектора смещений. Далее приводятся выражения компонент вектора смещений, соответствующего модели асимметричной упругости, на границе отверстия (р = 1), из которых при ^о = 0 и Ло = Л + ^ получаем классическое решение
120 J ^(4 cos 4ft + 5)
[(35к2 + 34Л0^) sin ft+
(70к2 + 110Л0^) sin 3ft + 30к2 sin 5ft + (40к2 + 5X0^ sin 7ft+
+^0Л0 X (-35 cos ft + 28 cos 3ft + 30 cos 5ft + 85 cos 7ft) ],
120 J к2^0(4 cos 4ft + 5)1 +(20к2 - 8X0^) cos 3ft - (30к2 + 6GX0^ cos 5ft + (20к2 - 65X0^X
X cos 7ft - X (sin ft - 40 sin 3ft + 30 sin 5ft + 35 sin 7ft)].
Исследуем, как изменится форма отверстия при изгибе стальной полосы. Характеристики материала: о = 0.3, E = 20600 ■ 107 Н/м2. Начальные условия: R = 0.9 ■ 10-2 м, изгибающий момент M = 686.5 ■ 103 Нм, момент инерции поперечного сечения J = 41.67 ■ 10-8 м4.
На рис. 2 изображено криволинейное квадратное отверстие до деформации, длина которого a = 1.5 ■ 10-2 м. Годограф вектора смещений классической модели представлен ниже на рис. 3.
-0.8 -0.4 0 0.4 0.8 х>см
Рис. 2. Форма отверстия до деформации
Рис. 3. Годограф вектора смещений классической модели
Деформация особенно заметна в углах отверстия. Как показывают вычислительные эксперименты, при дальнейшем увеличении нагрузки отверстие принимает физически нереальную форму. Происходит образование в углах петель, что не может соответствовать действительности.
На рис. 4 представлен годограф вектора смещений модели В.О.Бытева при = 8 ■ 106 Н/м2.
Рис. 4. Годограф вектора смещений (модель В.О.Бытева)
Видно, что для этой модели форма деформированного отверстия близка к форме отверстия до деформации.
Итак, используя модель В.О.Бытева мы получаем в распоряжение новый кинетический параметр, с помощью которого удается "регуляризиро-вать" решение. Диапазон "влияния" ^о зависит от начальных условий. В первую очередь, от физических характеристик материала, а также от величины приложенного усилия, от размеров отверстия и, возможно, других условий. Основываясь на вычислительных экспериментах можно сделать вывод о том, что влияние параметра ^о особенно существенно в случае пластичных материалов.
Авторами статьи готовится серия экспериментов, в результате которых ожидается установить соответствие рассмотренных моделей экспериментальным данным.
[1] Аннин,Б.Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б.Д.Аннин, В.О.Бытев, С.И.Сенашов. - Новосибирск: Наука, 1985. - 144 с.
[2] Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. Л.: Изд-во Академии наук, 1933. - 381 с.
[3] Савин, Г.Н. Распределение напряжений около отверстий / Г.Н. Савин. -Киев: Наукова думка, 1968. - 888 с.
THE SOLUTION OF PROBLEMS OF THE ASYMMETRICAL ELASTICITY4
© 2008 V.O.Bytev5 I.V. Slezko6
In the paper a two-dimensional model of the deformation of asymmetrical elastic solid is considered. The exact solution of the problem on bending of the strip which is weakening by square hole. Comparative analysis of the obtained solution with the classical one is discussed.
Keywords and phrases: deformation, two-dimensional model, two-dimensional problem, elastic model, bending of a strip.