Решение задачи Коши для системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу Текст научной статьи по специальности «Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Максимова Екатерина Алексеевна
Рассмотрена система уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу . Получено решение задачи Коши для случая, когда характеристические числа матрицы-коэффициента комплексно-сопряжённые с действительной частью из интервала (−1/2, 0).
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Максимова Екатерина Алексеевна
Solution of the Cauchy problem for system of Euler-Poisson-Darboux equations
The system of Euler-Poisson-Darboux equations is considered, the Cauchy problem is solved for the case, when characteristic numbers of matrix-coefficient are complex conjugate and having real part in the interval (−1/2, 0).
Текст научной работы на тему «Решение задачи Коши для системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу»
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: katyuha_mak@mail. ru
Рассмотрена система уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу. Получено решение задачи Коши для случая, когда характеристические числа матрицы-коэффициен-та комплексно-сопряжённые с действительной частью из интервала (—1/2, 0).
Ключевые слова: метод Римана, задача Коши, система уравнений Эйлера-Пуассона—Дарбу.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных
d2U d2U 2 GdU_ дх2 ду2 у ду ’
где U = (u\(x,y),U2(x,y))T—неизвестная вектор-функция, G — действительная 2 х 2-матрица.
В работе [1] построена матрица Римана и с её помощью получено решение задачи Коши для системы (1) в случае, когда спектр матрицы G принадлежит интервалу ( — 1/2,1/2). В [2] получено решение задачи Коши для случая, когда собственные значения матрицы G — комплексно-сопряжённые числа с действительной частью из интервала (0,1/2).
Цель данной работы — найти решение задачи Коши для случая, когда матрица G имеет комплексно-сопряжённые собственные значения Ai, А2 с действительной частью из интервала ( — 1/2, 0): + щ2, Х2 = l-Ч — Щ2, Mi G (—1/2,0), jj,2 ^ 0.
Задача Коши. Найти вектор-функцию U(х, у), удовлетворяющую следующим условиям:
2) U(x,y) удовлетворяет системе (1);
3) выполняются начальные условия
lim К (у)— = v(x) = (z/i(x),z/2(x))T, же (0,1), (3)
В характеристических координатах
С = х + у, г] = х - у (4)
Екатерина Алексеевна Максимова, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.
область £> переходит в область Н = , а система (1) редуцируется к системе уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу специального вида:
д£дг] д£ г] - £ дг) г] - £ при этом начальные условия принимают следующий вид:
Из свойств функции от матрицы [3] следует, что функция-матрица Римана Д(£> г/] £о, щ) есть вещественная матрица даже в том случае, когда характеристические числа матрицы С комплексно-сопряжённые. Запишем её аналитический вид:
Д = VМ1 (——Ль г) сов(р2 1п V) + у>(Льг) вт(/х21пУ)) +
E(ip(\\,r) cos(ц2 In V) + V>(Ai, г) sin(yU,2 In У)) J.
^(Льг) = 11е(2л( М1 +*М2^М1 +*М2 ;г^
Если £/(£. ) является решением системы уравнений (5), а Д(£, о, ??о)
матрица Римана этой системы уравнений, то, используя свойства матрицы Римана и векторный аналог тождества Грина [4], получаем
ад c)R 4ДС \ dry i-ц)
В равенстве (8) непосредственно переходить к пределу при е —> 0 нельзя, так как все внеинтегральные члены стремятся к бесконечности, а интеграл J±(e) не существует. Интегрируя по частям Ja(e), применяя формулу автотрансформации и переходя к пределу при е —> 0, получим решение задачи Коши (6), (7) для системы уравнений (5) в области Н, которое имеет вид
1 - Еф(Х1,1)) J cr_Ml (t) sin ^2 Inz/(t)dt+
+ (*7-0“2#,1_1 х J CTM1 (t) sin (^л2 In
- ^ (E(p(-M,l) + ifiV’(-Abl)) J crMl (t) cos In ^ (V + £
+ (K2ip(-\i,l) + К3ф(-Х1,1)) J crMl (t) cos In ) r(t)dt+
+ (К2ф(-Х1,1) - K3ip(-X1,l)) J crMl (t) sin In ^ r(t)dt
K3 = ( 1 + 2ц1)К1 - 2/j,2E, a(t) = (t - £)(ry - t),
on 1 i V / / л i\ v-V’n(Abl)
^ (1 )„n! ’ rv 1J ' ^ (1 )„n! ’
y>n+i(Abl) = ((mi + n)2 - M2)^n(Ai,l) - 2/л2(a*i + п)фп(Abl),
¥>i(Abl) = - М2, V’i(Abl) = 2/X1/X2-
Теорема. Если т(х) G С^3[0,1] и v(x) G С2(0,1), то задача Коши (2), (3) для уравнения (1) корректна по Адамару.
Замечание. Положив в (9) мi = 0, получим решение задачи Коши для случая мнимых собственных значений матрицы G.
1. Андреев А. А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа / В сб.: Дифференциальные уравнения в частных производных: Сб. тр. мат. кафедр пединститутов РСФСР. Вып. 16. Рязань: Рязан. гос. пед. инст., 1980. С. 9-14. [.Andreev A. A. On a class of systems of differential equations of hyperbolic type / In: Partial differential equations. Ryazan: Ryazan. Cos. Ped. Inst., 1980. Pp. 9-14].
2. Андреев А. А., Максимова E. А. Решение задачи Коши для одной системы гиперболического типа с сингулярными характеристиками / В сб.: Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2011. С. 11-17. [Andreev A. A, Maksimova Е. A. The solution of the Cauchy problem for one hyperbolic system with singular characteristics / In: Proceedings of the Eighth All-Russian Scientific Conference with international participation. Part 3 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2011. Pp. 11-17].
3. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с. [Gantmakher F. R. Theory of matrices. Moscow: Nauka. 549 pp.]
4. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1966. 164 с.; англ. пер.: Bitsadze А. V. Equations of the Mixed Type. New York: Pergamon Press, 1964. 160 pp.
Поступила в редакцию 21 /III/2011; в окончательном варианте — 23/VIII/2011.
SOLUTION OF THE CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEM OF EULER-POISSON-DARBOUX EQUATIONS
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.
The system of Euler-Poisson-Darboux equations is considered,, the Cauchy problem is solved for the case, when characteristic numbers of matrix-coefficient are complex conjugate and having real part in the interval (—1/2, 0).
Key words: Riemann method, the Cauchy problem, partial differential equations, Euler-Poisson-Darboux equation.
Original article submitted 21 /III/2011; revision submitted 23/VIII/2011.
Ekaterina A. Maksimova, Postgraduate Student, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.