Решение систем линейных уравнений "матричным методом"

Сущность матричного метода. Разработка программы решения системы уравнений линейных алгебраических уравнений методом решения через обратную матрицу на языке программирования Delphi. Представление блок-схемы и графического интерфейса программного продукта.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика Вид курсовая работа Язык русский Дата добавления 27.09.2014 Размер файла 1,0 M Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

по междисциплинарному курсу 01.02. Прикладное программирование

Тема: Решение систем линейных уравнений "матричным методом"

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Описание метода

1.2 Вывод формул

1.3 Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Блок схема программы

2.2 Разработка интерфейса

2.3 Описание объектов программы

2.4 Тестирование программы

2.5 Руководство пользователя

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований. В нашей программе мы реализуем решение систем линейных уравнений "матричным методом".

Сначала выясним смысл решения систем линейных уравнений "матричным методом", выведем формулу для вычисления линейных уравнений. Следом перейдем к решению характерных примеров, снабдим их подробными комментариями.

После проведенного обзора программных средств мы выбрали среду программирования наиболее подходящую нам как очень удобное средство для разработки данного программного продукта. Delphi 7 является наиболее выгодной нам средой программирования.

матричный программирование линейный алгебраический

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Описание метода

Матричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с -неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

где -- основная матрица системы, и -- столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на -- матрицу, обратную к матрице A:

Так как , получаем . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является не вырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: система имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если . Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как , а по определению обратной матрицы (E - единичная матрица порядка n на n), поэтому

Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .

Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, систему n линейных алгебраический уравнений. С n неизвестными можно решать матричным методом только тогда, когда определитель основной матрицы системы отличен от нуля.

1.3 Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом

Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц, при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы.

С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений .

В матричной форме исходная система запишется как , где

Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем

следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.

Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как

где - алгебраические дополнения элементов a_11,a_12,a_21,a_22

Выполним проверку полученного решения , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.

Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: или в другой записи .

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Блок-схема программы

На рисунке 1 представлена блок-схема программы:

Рисунок 1 - Блок-схема матричного метода

2.2 Разработка интерфейса

Графический интерфейс представляет собой стандартный набор компонентов Delphi. Были использованы компоненты Form, Edit, Label, Button, MainMenu, StringGrid.

Компонент Label предназначен для показа текста на форме нашей программы.

Компонент Edit предназначен для ввода пользовательских данных и представляет собой однострочное поле.

Компонент Button это стандартная кнопка Delphi, кнопка имеет на поверхности надпись (описывающая её назначение при нажатии).

Компонент MainMenu - это не визуальный компонент delphi(место размещения которого на форме не имеет значения для пользователя, так как он увидит не сам компонент, а меню, сгенерированное им), предназначенный для вывода главного меню на форме.

Компонент Form - это важнейший визуальный компонент, который представляет собой видимое окно Windows.

Компонент StringGrid - предназначен для отображения различных данных в табличной форме.

На рисунке 2 отображена начальная форма программы:

Рисунок 2 - Объекты формы

2.3 Описание объектов программы

В таблице №1 представлено описание всех объектов, которые задействованы в программе:

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎