. Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы
Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы

Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы

Форма урока: урок формирования и совершенствования знаний.

Вид урока – комбинированный.

  • дидактическая – показать учащимся формулу, её доказательство и способы применения. Закрепить использование формулы.
  • логическая – упражнять учащихся в анализе, сравнении, обобщении.
  • воспитательная – привить интерес к изучаемой теме.

1 этап. Актуализация знаний.

На этот урок было задано Д. /З.: повторить такие понятия, как одночлен, стандартный вид

одночлена, коэффициент одночлена, многочлен, стандартный вид многочлена, подобные слагаемые, приведение подобных слагаемых.

На доске написаны одночлены и многочлены:

1) x 2 + x; 2) –2aba; 3) 10x – 8xz – 3xz; 4) –bca; 5) 25ab + ab 2 + a 2 b; 6) 0, 125; 7) zzx 6; 8) 25a 8 x4b; 9) (–f 2 ) 2; 10) x 6 – 10; 11) a 2 c – 9aca + 6; 12) a

Определение одночлена: Одночлен – выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней, а также числа, переменные и их степени.

Назвать пункты, в которых записаны одночлены. Ответ: 2), 4), 6), 7), 8), 9), 12)

Определение стандартного вида одночлена: Стандартный вид одночлена – произведение числового множителя, стоящего на первом месте и степеней различных переменных.

Назвать пункты, в которых одночлены записаны в стандартном виде. Ответ: 4), 6), 12)

Определение коэффициента одночлена: Коэффициент одночлена – числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

Назвать коэффициент одночлена. Ответ: 2) –2; 4) –1; 6) 0, 125; 7) 6; 8) 100; 9) 1; 12) Определение многочлена: Многочлен – алгебраическая сумма одночленов.

Назвать пункты, в которых записаны многочлены. Ответ: 1), 3), 5), 10), 11)

Определение стандартного вида многочлена: Стандартный вид многочлена – многочлен, в котором все одночлены записаны в стандартном виде и нет подобных слагаемых.

Назвать пункты, в которых многочлены записаны в стандартном виде. Ответ: 1), 5), 10)

Определение подобных слагаемых: Подобные слагаемые (члены) – слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.

Назвать подобные слагаемые в тех многочленах, в которых они есть. Ответ: 3) –8xz и –3 xz; 11) a 2 c и – 9aca;

Определение приведения подобных слагаемых: Приведение подобных слагаемых – преобразование, основанное на распределительном свойстве умножения

Привести подобные слагаемые. Ответ: 3) – 8a 2 c; 11) -11xz

2 этап: Мотивация знаний.

Задание на 5- 7 мин. в тетради для теории.

№ 1. Упростить выражение: (x 2 – ax + b)(b + x 2 – ax) + (ax – b)(ax – b) +(–ax + x 2 + b)(ax – b)x 2

(x 2 – ax + b)(b + x 2 – ax) + (ax – b)(ax – b) +(– ax + x 2 + b)(ax – b)x 2 =

= x 2 b – axb + b 2 + x 4 – ax 3 + bx 2 – x 3 a + a 2 x 2 – bax + a 2 x 2 – bax + b 2 – bax + 2(–a 2 x 2) + 2x 3 a + 2bax + + 2bax – 2bx 2 – b 2 = x 4

Спросить учащихся, какие ответы у них получились. Сделать вывод: что они работали 5 мин., а многие сделали не верно (не успели сделать). Вычисление занимает очень много времени.

А для упрощения работы существуют специальные формулы: формулы сокращенного умножения (отметить слово “сокращенного”).

3 этап: Изложение нового материала.

В тетради для теории записать заголовок темы:

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.

Квадрат суммы двух выражений.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Доказательство: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

a 2 + 2ab + b 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) = = (a + b) 2 Доказано.

Вспомнить определение степени числа (произведение числа а само на себя n-ое количество раз).

Записать как читается данная формула.

“Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения” .

(спросить нескольких учеников и повторить всем классом хором)

4 этап. Практическое применение формулы.

Использование этих формул:

а) (30 + 1) 2 = 30 2 + 2x30x1 + 1 2 = 900 + 60 + 1 = 961 б) 72 2 = (70 + 2) 2 = 70 2 + 2x70x2 + 2 2 = 4900 + 280 + 4 = 5184 в) 157 2 + 2x157x 43 + 43 2 = (157 + 43) 2 = 200 2 = 40000

2) Решить уравнений:

25x 2 + 20x + 4 = 0

3) Представить выражение в виде многочлена:

(x 2 + 10) 2 = (x 2 ) 2 + 2xx 2 x10 + 10 2 = x 4 + 20x 2 + 100

4) Разложить многочлен на множители (определение: представить в виде произведения одночлена и многочленов или многочленов):

a 2 + 6ab + 9b = a 2 + 2x ax3b + (3b) 2 = (a + 3b) 2

5) Вернуться к выражению, которое они упрощали в начале урока:

(x 2 – ax + b)(b + x 2 – ax) + (ax – b)(ax – b) +(– ax + x 2 + b)(ax – b)x 2 =

= (x 2 – ax + b + ax – b) 2 = (x 2)2 = x 4

Обратить внимание, как быстро и легко упростили это выражение с помощью формулы квадрата суммы

Заметить, что в формуле вместо a и b могут быть числа, одночлены, многочлены и их комбинации и т. д. …

5 этап. Решение задач.

Ученикам раздаются карточки с заданием. Решение и анализ проводится вместе с учителем.

Лист с решением вклеить в рабочую тетрадь.

Задание: Вместо многоточия поставить одночлен так, чтобы получившееся равенство выполнялось.

Формулы сокращенного умножения Квадрат

  1. (… + 2b) 2 = a 2 + 4ab + 4b 2 ,
  2. (3x + …) 2 = 9x 2 + 6ax + a 2 ,
  3. (… + 2a) 2 = 100 + 40a + 4a 2 ,
  4. (… + 9c) 2 = 36a 4 + 108a 2 c + 81c 2 ,
  5. (15a + …) 2 = 225a 2 + 12ac 3 + 0, 16c 6 ,
  6. (3a + 2, 5b) 2 = 9a 2 + 6, 25b 2 + … ,
  7. (… + 2a) 2 = … + 12ab + …,
  8. (3x + …) 2 = … +. + 49z 2
  1. (a + 2b) 2 = a 2 + 4ab + 4b 2 ,
  2. (3x + a) 2 = 9x 2 + 6ax + a 2 ,
  3. (10 + 2a) 2 = 100 + 40a + 4a 2 ,
  4. (6a 2 + 9c) 2 = 36a 4 + 108a 2 c + 81c 2 ,
  5. (15a + 0, 4c 3 ) 2 = 225a 2 + 12ac 3 + 0, 16c 6 ,
  6. (3a + 2, 5b) 2 = 9a 2 + 6, 25b 2 + 15ab,
  7. (3b + 2a) 2 = 9b 2 + 12ab + 4a 2,
  8. (3x + 7z) 2 = 9x 2 + 42xz + 49z 2

6 этап: Обобщение знаний.

Повторить формулу, что может быть записано вместо переменных а и b, ее чтение, способы использования.

7 этап: Домашнее задание.

Выучить формулу квадрата суммы, ее доказательство. Из учебника (Алимов Ш. А., Алгебра 7 класс) сделать № 371 (2, 3); № 378 (2, 4); № 388 (2)

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎