Уравнение Бернулли и следствия из него
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S 1 и S 2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S 1 скорость течения v 1, давление p 1 и высота, на которой это сечение расположено, h 1 . Аналогично, в месте сечения S 2 скорость течения v 2, давление p 2 и высота сечения h 2. За малый промежуток времени D t жидкость перемещается от сечения S 1 к сечению , от S 2 к .
Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E 2— E 1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:
где E1 и E2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S 1 и S 2 соответственно.
С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S 1 и S 2, за рассматриваемый малый промежуток времени D t . Для перенесения массы m от S 1 до жидкость должна переместиться на расстояние l 1= v 1 D t и от S 2 до — на расстояние l 2= v 2 D t . Отметим, что l 1 и l 2 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v , давления р и высоты h . Следовательно,
А = F 1 l 1 + F 2 l 2, (30.2)
где F 1= p 1 S 1 и F 2= – p 2 S 2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис. 47).
Полные энергии E1 и E2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:
Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим
Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.
Разделив выражение (30.5) на D V, получим
где р — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать
Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина r v 2 /2 — динамическим давлением. Как уже указывалось выше (см. § 28), величина r gh представляет собой гидростатическое давление.
Для горизонтальной трубки тока ( h 1 = h 2) выражение (30.6) принимает вид
где p + r v 2 /2 называется полным давлением.
Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.
Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью другой — статическое (р). Манометром измеряют разность давлений:
где ро — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:
Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости:
Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. =133,32 Па).
Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 51).
Рассмотрим два сечения (на уровне h 1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h 2 выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:
Так как давления р1 и р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р1=р2, то уравнение будет иметь вид
Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что v 2/ v 1= S 1/ S 2, где S 1 и S 2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S 1 >>S 2 , то членом v /2 можно пренебречь и