Существование решений системы Власова-Максвелла и уравнения нелинейной теплопроводности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
Работа выполнена в Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук (ИДСТУ СО РАН).
Научный консультант - доктор физико-математических наук,
профессор Сидоров Николай Александрович.
Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,
профессор Аристов Сергей Николаевич; доктор физико-математических наук, профессор Белоносов Владимир Сергеевич; доктор физико-математических наук, профессор Капцов Олег Викторович.
Ведущая организация - Московский государственный институт электроники и математики.
Защита диссертации состоится "8 апреля" 2004г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 при Институте динамики систем и теории управления по адресу: 664033, Иркутск, ул.Лермонтова, 134.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института динамики систем и теории управления по адресу 664033, Иркутск, ул.Лермонтова, 134.
Автореферат разослан "5 марта" 2004г
Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Как известно, проблема управляемого термоядерного синтеза состоит в формировании, нагреве, подавлении диффузии и удержания высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля взаимодействующих заряженных частиц. Составной частью этой проблемы является задача формирования и транспортировки мощных потоков (пучков) заряженный частиц [Д.А. Овсянников, 1980, 1986, 1990, О И Дривотнн, ДА Овсянников, 2001; ДА. Овсянников, О И Дривотин, 2003, А С Чихачсв, 2001]. Эти и многие другие задачи математического моделирования в физике плазмы приводят к необходимости исследования нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с частными производными.
В настоящей работе исследуются система интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) 1 и нелинейное параболическое уравнение второго порядка с неявным вырождением 2, связанные с задачами математического моделирования в физике плазмы и описывающие соответственно динамику заряженной плазмы в кинетическом приближении и ее диффузию3 поперек магнитного поля, а также процесс горения нелинейной теплопрово-дящей среды в виде сложных диссипативных структур4
Система ВМ описывает бссстолкновитсльный ансамбль п 6 N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц <71, д2, • • •, Яп € К \ , каждый из которых характеризуется функцией распределения /¡(г, > 0 по координатам г = (х, у, г) € Г2 С К3 и скоростям V = (ит, уу, уг) 6 К3 и имеет вид
¿/. + V ■ V,/, + + -V х В) ■ = 0, (1)
-Е = сЧхВ-4^, У-£ = 4тгр, (2) - (3)
^В = -сЧхЕ, У-В = 0, (4)-(5)
Флагов А А Теория многих чагтиц М Гостехи vial, 1950
'^Калашников А С Некоторые нопдххы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // УМН. 1987 Т.42, N2 С 135-176
3Hyman J , Rosenau Р Analysis of nonlinear parabolic equations modeling plasma diffusion across a magnetic field // Lectures in Applied Mathematics, 1986. V 23 P 219-245
4Курдюмов С П Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее о|л у пи кш пи / CoejtCMt intw прп/>л(мы мптпг штппргкой (frit тки и «ы*тглитгильной мптпемпгпиги М Наука, 1982 С 217-243
Здесь (6R+ время; R+ = (0,+оо). (г, i;, ¿) G R3 х R3 х R+. E(r, I), B(r,t) напряженность электрического поля и магнитная индукция, Е, В R3 xR+ —> R3; /, : R3 х R3 х R+ —► R+; p(r,t), j(r,t) плотности заряда и тока; ml,ql масса и заряд частиц сорта г = 1,2, , п; с - скорость света При этом f,,E,B непрерывно дифференцируемые функции.
Электромагнитные поля E(r,t), B(r,t), определяемые из системы Максвелла (2) (7), являются самосогласованными в том смысле, что из уравнений Власова (1) определяются такие распределения /,(г, v, t), которые вызывают появление электромагнитных полей E(r, t), В (г, t), поддерживающих эти распределения f,(r,v,t).
Диффузия плазмы через магнитное поле изучалась |J Hyman, Р. Rosenau, 1986; P. Rosenau, J. Hyman, 1986; Y. Kwong, 1988; M. Bartsch, S. Kamin, 1990] и описывается, в общем случае, неявно вырождающимся параболическим уравнением
и = 0, (t, х) е R+ х 0Г2, и = и0, (t, х) е х Q.
Здесь fi С R" - открытое ограниченное подмножество с границей класса С2+а;а G (0,1);<? : Ё+ —> R+ непрерывная возрастающая функция; д(0) = 0;/ : R х R+ -»R - непрерывная функция; g(-),f(А,-) локально непрерывны по Липшицу; /(А, 0) = 0 для А € R. В работах [D. Aronson, L. Peletier, 1981; М. Bertsch, 1982; P.De Mottoni, A. Schiaffino, A. Tesei, 1984] для обобщенных решений начально-краевой задачи (8) была построена качественная теория, аналогичная той, что развита в исследованиях [B.C. Белоно-сов, Т.И. Зеленяк, 1975; Т.И. Зеленяк, 1977] для равномерно параболических уравнений. Если д
1 непрерывна по Гельдеру, тогда v = д(и) е С2+а(П) -классическое решение краевой задачи
где h : R х R+ —> Wt;h(\,v) = /(А, д"1^)). Уравнение (8)' описывает, например, равновесные конфигурации в плазме токамака [Ю.Н. Днестровский, Д П. Костомаров, 1982]. Основными методами исследования уравнения (8)' являются метод обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационные методы, метод верхних и нижних решений, метод априорных оценок и, так называемый, метод теорем типа Лиувилля [С.И. Похожаев, 1980, 1991; Э. Митидиери, С.И. Похожаев, 1998].
Нелинейное эволюционное уравнение (8) и его стационарный аналог (8)' описывают широкий круг процессов и явлений. Например, уравнение (8) возникает при математическом моделировании различных процессов нелинейной теплопроводности с источником (стоком) и одновременно протекающих
процессов диффузии, в частности, процесса диффузии тепла и горения нелинейной днссипативной среды с объемным энергоны делением при т н лазерном термоядерном синтезе [А А. Самарский, А П Михайлов 1997] Построение строгой математической теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка было начато в работах (О А Олсйник, 1957, О А Олсйник, А С Калашников. Чжоу-Юй- Пинь 1958; А С Калашников, 1967, 1972] В этих исследованиях был введен в рассмотрение физически обоснованный класс обобщенных решении, доказаны теоремы существования и единственности решений для первой и второй краевых задач в ограниченных и Hcoi раниченных областях, различные варианты принципа максимума, а также теоремы о наличии конечной скорости изменения носителей решений уравнений типа нестационарной фильтрации С другой стороны, в работе [Е С Сабинина, 19G2] при изучении первой краевой злтачи для уравнения быстрой диффузии был открыт эффект стабилизации (полного остывания) за конечное время Эти два фундаментальных результата являются основополагающими при математическом моделировании как медленной, так и быстрой диффузии ограниченной плазмы через магнитное поле и ее равновесных конфигураций [R. Tcmam, 1977; С. Bandle. М. Marcus. 1982].
К одной из сложных и актуальных задач математического моделирования следует отнести построение точных решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, составной частью которой является проблема редукции: понижение размерности исследуемой задачи. Основными методами решения этой проблемы являются метод обратной задачи рассеяния [В Е Захаров, А.Б. Шабат, 1974, 1979], применимый к уравнениям, обладающим (L,A)-парой [Р D. Lax, 1968], групповой анализ [JT.B Овсянников, 1978; Н.Х. Ибрагимов, 1983], методы дифференциальных связей [А Ф. Сидоров, В.П. Шапеев, H.H. Яненко, 1984; В.К Андреев, О.В. Капцов, В В Пухначев, А А Родионов, 1994], инвариантных многообразий, дифференциальных подстановок и линейных определяющих уравнений [О.В. Капцов, 1992, 1995, 1998], преобразований Беклунда и неабелевых псевдопотенциалов [М Абловиц, X Сигур, 1987] и тн. прямые методы [Р. Хирота, 1983]. Кроме того, одним из регулярных подходов, используемых при решении этой проблемы, является проверка исследуемого нелинейного уравнения на тест Пенлеве [М Ablowitz, P. Clarkson, 1991]. Применение этого теста к нелинейным уравнениям, интегрируемым методом обратной задачи рассеяния, дает эффективный подход построения (L, Л)-пар Лакса и преобразований Беклунда, а для неинтегрируемых уравнений позволяет находить специальные классы точных решений [В.Г. Данилов, JI Ю Субочев, 1991; Н А Кудряшов, 1988, 1993).
В настоящее время имеется большое число работ, посвященных построе-
нию и иос ледованию точных неотрицательных решении нелинейных параболических уравнений г неявным вырождением В связи с этим, укажем лишь наиболее близкие публикации [В П Маслов. В Г Данилов, К А Вологов. 1987; В А Галактионов, В А Дородницын, Г Г Еленнн, С П. Курдюмов, А А Самарский, 1987, В А Галактионов, С А. Посашков, 1988, 1989, 1994, В А Галактионов, CA Посашков. CP Свирщсвский, 1994, 1995; VA. Galaktionov. 1990, 1991, 1995, J R King 1989, 1993, В В Пухначсв, 1994,1995, О В Кап-цов, 1992,1998, Е Р. Косыгина, 1994.1995, M. Bertsch, R. Kcrsncr, L A Pelcticr, 1985; M A Herrero. 1989, P J Olvcr. 1994, С H. Аристов, 1999].
Систему ( 1) (7), описывающую коллективные бесстолкновительныс взаимодействия п е N различных сортов заряженных частиц, принято называть n-компонснтной системой уравнений ВМ Полная энергия (гамильтониан) системы В M имеет вид
= J J m, I vffldrdv + ± J [|£|2 + |ß|2] dr, 1=1 w il il
В работах [К. Asano, 1986; P. Degond, 1986] показано, что задача Коши для n-компонентной (трехмерной) системы ВМ имеет единственное классическое решение на отрезке [0, Т] для всех гладких начальных данных из некоторого функционального пространства Глобальное существование слабых решений задачи Коши для п-компонентной (трехмерной) системы ВМ изучалось в работах [R T Glassey, W A. Strauss, 1986, R. Di Perna, P.L. Lions, 1988, 1989]. На основе этих результатов в работе [Y. Guo, 1993] доказано существование слабого глобального решения начально-краевой задачи для системы ВМ с конечной полной энергией H
Существование и свойства стационарных решений системы В M исследовались многими авторами [В П. Маслов, М.В. Федорюк, 1985; H.A. Сидоров, Г.А Рудых, А В Синицын, 1987; Г А. Рудых, Н.А Сидоров, А В Синицын, 1988, 1989, Ю.А Марков. ГА Рудых, НА Сидоров, AB Синицын, 1989 1990; Yu.A Markov. G A Rudykh, N.A. Sidorov, A.V. Sinitsyn, 1990, Yu A
Markov, G.A. Rudykh, N.A. Sidorov, A.V. Sinitsyn, D.A. Tolstonogov, 1992; Ю.А. Марков, 1988, 1989, 1992, Д.А. Толстоногов, 1991; J. Dolbeault, 1991, 1994; F. Poupaud, 1992, О И. Дривотин, Д А Овсянников, 2001; В.В. Веденя-пин, 2001].
Вопросам существования и исследования стационарных решений релятивистской системы Власова-Максвслла (РВМ) посвящены публикации [Р. Dcgond, 1990; G Rein, 1992; J Batt, К Fabian, 1993; P. Braasch, 1996, 1997; Y. Giio, R Grotta, 1996; Y. Guo, 1997]. В частности, в работе [P. Degond, 1990] получены два класса явных стационарных решений и показано, что для каждого из этих классов исследуемая РВМ система сводится к системе связанных полулинейных эллиптических уравнений. В цикле работ [P. Braasch, 1996, 1997] с использованием результатов [Г.А. Рудых, H.A. Сидоров, A.B. Синицын, 1988, 1989] доказано существование некоторых классов стационарных и квазистационарных решений РВМ системы в случае ограниченной по состоянию области Q с R3 и неограниченной по скоростям.
lim E(r,t) = 0, lim B(r,t) = 0. В работе [В.П. Маслов, 1978; М.В. Кара-
сев, В.П Маслов, 1979] получены тн уравнения самосогласованного поля, когда, помимо воздействия внешнего поля на систему, учитывается влияние полей, создаваемых элементами самой системы, и предъявлены соответствующие точные решения нестационарного уравнения Власова в R3 с кулонов-ским взаимодействием.
Особый интерес представляет постановка и решение краевых задач для стационарной n-компонентной системы уравнений ВМ, которая, как отмечалось выше, может быть сведена к исследованию системы эллиптических интегродифференциальных уравнений В связи с этим, важные результаты получены в исследованиях [J. Cooper, A Klimas, 1980, 1981; J. Cooper, W. Strauss, 1985; F. Poupaud, 1992; Yu.A. Markov, G.A. Rudykh, N.A. Sidorov, A.V. Sinitsyn, D.A. Tolstonogov, 1992; С.И. Похожаев, 1995; P. Braasch, 1996, 1997] и цикле работ [В.П. Маслов, 1994], в которых выведены и изучены новые
классы интегральных уравнений с прыгающей нелинейностью и их нелинейные эллиптические аналоги для описания классического самосогласованного поля типа Власова.
Система ВМ (1)-(7) является, в общем случае, существенно нелинейной системой интегродифференциальных уравнений, имеет с математической точки зрения ряд особенностей5, не относится ни к одному из известных типов уравнений и не поддается до конца аналитическому исследованию 6.
В связи с этим, в настоящей работе при исследовании системы уравнений ВМ (1)-(7) вид функций распределения ft