Тема 3.2 Совершенная ДНФ. Совершенная КНФ.
где дизъюнкция берется по всем наборам с=(с1, с2, …, сn) из 0 и 1, для которых F(c)=1.
Теорема (о СДНФ). Для всякой не равной тождественному нулю формулы логики высказываний F(x1, x2, …, xn) существует такая формула F1, зависящая от того же списка переменных и находящаяся в СДНФ относительно этого списка, что F1 выражает собой формулу F. Формула F1 определена однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.
Совершенной конъюнктивной формулой формулы алгебры высказываний (СКНФ) называется КНФ, в которой:
1. различны все члены конъюнкции;
2. различны все члены каждой дизъюнкции;
3. ни одна дизъюнкция не содержит переменную вместе с отрицанием этой переменной;
4. каждая дизъюнкция содержит все переменные, входящие в исходную формулу, т. е. имеет вид
где конъюнкция берется по всем наборам с=(с1, с2, …, сn) из 0 и 1, для которых F(c)=0.
Теорема (о СКНФ). Для всякой не равной тождественной единице формулы логики высказываний F(x1, x2, …, xn) существует такая формула F1, зависящая от того же списка переменных и находящаяся в СКНФ относительно этого списка, что F1 выражает собой формулу F. Формула F1 определена однозначно с точностью до перестановки конъюнктивных членов.
Опишем два способа приведения к совершенным нормальным формам.
1-й способ – аналитический.
Приведение к СДНФ. Алгоритм приведения.
1. привести формулу с помощью равносильных преобразований к ДНФ.
2. удалить члены дизъюнкции, содержащие переменную вместе с ее отрицанием (если такие окажутся);
3. из одинаковых членов дизъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного;
4. из одинаковых членов каждой конъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного;
5. если в какой-нибудь конъюнкции не содержится переменной xi из числа переменных, входящих в исходную формулу, добавить к этой конъюнкции член и применить закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции;
6. если в полученной дизъюнкции окажутся одинаковые члены, воспользоваться предписанием из п. 3.
Полученная формула и является СДНФ данной формулы.
Привести следующие формулы к СДНФ с помощью равносильных преобразований:
Приведение к СКНФ. Алгоритм приведения.
1. привести формулу с помощью равносильных преобразований к КНФ.
2. удалить члены конъюнкции, содержащие переменную вместе с ее отрицанием (если такие окажутся);
3. из одинаковых членов конъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного;
4. из одинаковых членов каждой дизъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного;
5. если в какой-нибудь дизъюнкции не содержится переменной xi из числа переменных, входящих в исходную формулу, добавить к этой дизъюнкции член и применить закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции;
6. если в полученной конъюнкции окажутся одинаковые члены, воспользоваться предписанием из п. 3.
Полученная формула и является СКНФ данной формулы.
Привести следующие формулы к СКНФ с помощью равносильных преобразований:
2-й способ – табличный.
Составляем таблицу истинности для данной функции.
Приведение к СДНФ. Алгоритм приведения.
Строим таблицу значений формулы. Рассматриваем только те строки, в которых значение формулы равно единице. Каждой такой строке соответствует конъюнкция всех аргументов (без повторений). Причем, аргумент, принимающий значение 0, входит в нее с отрицанием, значение 1 – без отрицания. Наконец, образуем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций.
Построить СДНФ для данных формул логики высказываний.
Строим таблицу истинности для формулы F: № x y z 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 2 0 1 0 0 0 0 3 0 1 1 0 1 0 4 1 0 0 1 1 1 5 1 0 1 1 1 1 6 1 1 0 0 0 0 7 1 1 1 0 1 1
Рассматриваем только 4, 5 и 7 наборы, так как только на этих наборах формула принимает значение равное единице.
Строим таблицу истинности для формулы F: № x y x® y F=(x® y)ÙxÙy 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 2 1 0 0 0 3 1 1 1 1
Приведение к СКНФ. Алгоритм приведения.
Рассматриваем только те строки таблицы, где формула принимает значение 0. Каждой такой строке соответствует дизъюнкция всех переменных (без повторений). Причем аргумент, принимающий значение 0, берется без отрицания, значение 1 – с отрицанием. Наконец, образуют конъюнкцию полученных дизъюнкций.