научная статья по теме БИМЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ Геофизика

Текст научной статьи на тему «БИМЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ»

ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2007, № 3, с. 39-50

УДК 517.44, 550.8.05, 519.651

БИМЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Московский государственный геологоразведочный университет 2Открытое акционерное общество НПО "НАФТАКОМ", г. Москва 3Закрытое акционерное общество "НПЦГЕОНЕФТЕГАЗ", г. Москва Поступила в редакцию 15.06.2006 г.

Авторы поставили перед собой задачу познакомить читателя с алгоритмами обработки данных, отправной точкой для которых является вейвлет-анализ. Рассмотрены основные интегральные преобразования двумерных данных, базирующиеся на идеях многомасштабного анализа и преобразования Радона. Этот класс трансформаций назвали бимлет-преобразованиями. В работе дана их краткая характеристика и проиллюстрирована работа на простых примерах из области геофизики.

Ключевые слова: вейвлет, вейвлет-преобразование, преобразование Радона, риджлет, риджлет-преобразование, курвлет, курвлет-преобразование, бимлет, бимлет-преобразование, пороговая обработка.

За последние 20 лет в прикладной математике был развит и оформился в самостоятельное направление раздел, получивший название "вей-влет-анализ" [Goupilland et al., 1984-1985; Добе-ши, 2001; Чуи, 2001; Малла, 2005; Астафьева, 1996; Юдин и др., 2000; Дьяконов, 2004; Смолен-цев, 2005]. Начиная с девяностых годов прошлого века на основе идей вейвлет-преобразования сигналов начал интенсивно развиваться математический аппарат для анализа многомерных данных [Candes, Donoho, 1999; Donoho, 2000; Donoho, Huo X., 2001]. В настоящее время многомасштабное преобразование данных играет фундаментальную роль в теории аппроксимации.

Вейвлеты оперируют двумя основными параметрами: масштабом (scale) и положением (location). Двумерные вейвлеты, как правило, имеют только фиксированное количество направленных элементов, но в реальных сигналах могут присутствовать и другие направления, которые нужно подчеркнуть посредством трансформации данных. В последнее десятилетие появилось большое число публикаций, посвященных классу преобразований многомерных данных, которые включают дополнительный параметр - ориентацию линейных сегментов. Наряду с алгоритмами многомасштабного анализа сигналов, индуцированными вейвлетами, этот класс интегральных трансформаций пронизывают идеи, содержащиеся в преобразовании Радона, - математическом аппарате, лежащем в основе компьютерной томографии. В от-

личие от вейвлетов, трансформации, о которых здесь пойдет речь, в число основных параметров включают три элемента: масштаб, положение и направление линейных сегментов данных.

Приведем перечень основных модификаций интегральных преобразований рассматриваемого класса: бимлет (ЬеатМ)-преобразование, ридж-лет(ridgelet)-преобразование, курвлет(си^еМ)-пре-образование. Эти и подобные им трансформации двумерных данных обладают высокой чувствительностью и точностью при обнаружении и выделении объектов и их границ. Для краткости, когда это не будет приводить к недоразумениям, будем называть все перечисленные выше и им подобные интегральные преобразования бимлет-преобразованиями, так как в них выполняется суммировании по прямым. Следует отметить, что имеются и другие, не менее интересные многомасштабные подходы к анализу данных, не рассматриваемые в настоящей работе.

Адаптивная фильтрация данных на основе выбора порога для усечения части коэффициентов в области изображений (thesholding) и последующего восстановления сигнала, является важной составной частью сжатия данных и/или увеличения отношения сигнал/шум. Центральное место здесь занимает выбор оптимального порога, который является границей между полезной информацией и наиболее вероятной помехой.

Обработка геофизической информации является той областью приложений интегральных трансформаций, которая стимулировала появление, раз-

Преобразование Фурье-анализ Вейвлет-анализ

Основная функция ехр(/'х) ! / \ / \

Ядро Д-) К(ю, х) = ехрО'юх) К(а, т, х) = УУа,т(х)

Прямое преобразование А(ю) = \ f (х)ехр(Ш)йх )(а, т) = \ а(х)Уа,т(х) йх

Обратное преобразование АО = 1 А(ю)ехр(гюх)йх - 1 с/ II I [ У(а,т)уат(х) Айайт -1 -1 а2

витие и становление вейвлет-анализа [Goupillaud et а1., 1984-1985]. Многие алгоритмы обработки и интерпретации данных геофизики (в первую очередь, сейсморазведки и сейсмологии) по своей сути близки к многомасштабному (многооконному) "вейвлетоподобному" анализу больших объемов информации. Перевод этих эвристических алгоритмов, зажатых чаще всего рамками разного рода "оконных" технологий, на фундамент математически обоснованного многомасштабного анализа многомерных данных позволит достичь плодотворных результатов при выделении полезных сигналов на фоне случайных и/или регулярных помех [Hoekstra, 1996; Дудова, Юдин, 2005; Юдин М.Н., Юдин О.М., 2005].

Мы приведем описание теоретических аспектов алгоритмов, по возможности уделяя преимущественное внимание иллюстрации результатов их работы на простых тестовых примерах и реальных геофизических данных из сейсмо- и электроразведки.

Дадим краткую характеристику основных интегральных преобразований, не останавливаясь на выводах формул и доказательствах теорем. Более подробно рассмотрим элементы теории непрерывного и дискретного вейвлет-преобразо-ваний, так как другие трансформации наследуют идеи многомасштабного анализа данных, содержащиеся в вейвлет-анализе.

А. Од номерное вейвлет-преобра-зование.

Непрерывное одномерное вейвлет-преобразование. Пусть фиксирована вейвлет-функция у(х) е е L2(Л), имеющая нулевое интегральное среднее и достаточно быстро стремящаяся к 0 при |х| —► Непрерывное вейвлет-преобразование есть отоб-

ражение Wу, определяемое по формуле

(Wуf)(а,т) = А(а,т) = | Лх)у(^йх, (1)

где а е (0, - параметр масштаба, т е Я - параметр сдвига.

Обратное вейвлет-преобразование дает интеграл

f(х) = С" Ц( WS)(а,т)Уа,т(х)1 йайт,

Константа Су зависит от вейвлета.

В табл. 1 сопоставляются элементы комплексного Фурье-преобразования и непрерывного вей-влет-преобразования. При выполнении преобразования Фурье для анализа данных используются синусоиды и косинусоиды различной частоты, тождественно не равные нулю на всей числовой оси. Вейвлет-преобразование анализирует данные путем сопоставления их со сжатыми или растянутыми копиями локальных импульсов (существенно отличных от нуля на весьма ограниченном интервале) на различных сдвигах по оси времени. Класс таких анализирующих вейвлет-функций может быть достаточно широким.

Дискретное вейвлет-преобразование. Непрерывное вейвлет-преобразование использует весь диапазон изменения величин а и т. Положим а = 2 и т = к2-/, где у, к е 2, придем к ортонормированному базису (ОНБ) в пространстве [Добеши, 2001]:

Посредством (3) получим коэффициенты Фурье сигнала f (х) по системе функций (3)

)к = I f(х)2-;/2у(2-- х - к)йх.

Пример. Вейвлетами являются производные функции Гаусса g(t) = exp(-t2/2):

На рис. 1 приведены графики трех МНАТ-вейвле-тов (п = 2) на различных масштабах а и сдвигах т во временной области:

¥ 1 (*) = ¥а, 0, ¥2(*) = ¥а/2,т0, ¥ 3 (0 = ¥а/4, -т0, Т о = 2.

Кратномасштабный анализ. В явном виде кратномасштабный (кратноразрешающий) анализ (КРА), на теоретической основе которого строится быстрое дискретное вейвлет-преобра-зование, был сформулирован в 1986 г. С. Малла и И. Мейером (см. [Малла, 2005] и ссылки в конце книги). С его помощью в 1987 году И. Добеши [2001] построила бесконечную серию вейвлетов, обладающих основным свойством системы Хаара - компактным носителем (множество аргументов, на котором вейвлет не равен нулю, ограничено) и, вдобавок, определяющихся более гладкими функциями.

Определение. Последовательность , 7 £ Z замкнутых подпространств в Ь2^) называется кратноразрешающим анализом (КРА), если:

1. Vj с Vj + i V/ е Z, 2. U Vj = L2(R),

3. П Vj = , 4. f(•) е Vj ^ f(2-) е Vj + 1,

5. f(•) е Vo ^f(k) е Vo Vkе Z,

k е Z - ОБН в пространстве V0.

Функция ф называется масштабирующей функцией (scaling function) КРА. Пусть интеграл от ф по R равен 1. Свойство 4 позволяет по одному подпространству V0 построить все семейство , j е Z при каждом фиксированном j. Положим

фk(t) := 2"j/2ф(2jt - k), j, k е Z.

Из 4 и 6 следует, что при каждом фиксированном 7 система функций , к е Z, - ОНБ в простран-

Вейвлеты ¥(х) и подпространства Щ. Пользуясь условием 1, для любого 7 е Z определяем Ш как ортогональное дополнение до + 1: V7 + 1 = = ¥7 © Ш. Подпространства Ш содержат детализирующую информацию при переходе от уровня 7 + 1 к уровню 7. Для данного КРА

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎