Лекции / Лекции по матричной алгебре / matrichnaya-algebra-lk5 / Матричная алгебра ЛК5
Пусть дана система векторов и вектор . Требуется установить, является ли вектор линейной комбинацией данной системы векторов, и найти коэффициенты линейной комбинации.
Если является линейной комбинацией векторов , то существуют такие числа , что выполняется равенство:
Следовательно поставленная задача сводится к исследованию векторного уравнения (1) относительно чисел .
Пусть векторы ai заданны своими коэффициентами в базисе , то есть
Прировняв соответствующие координаты векторов левой и правой частей уравнения (1), получим
Эта система уравнений отражает координатную зависимость уравнения (1) и называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Числа называются правыми частями (свободные члены). – неизвестными системы уравнений. Упорядоченная совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая каждому из уравнений (3), называется решением системы.
Если система ЛАУ имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, а в противном случае – несовместной.
Таким образом, выявление линейной зависимости вектора от вектора , определяется совместностью или несовместностью системы (3).
Если система совместна, то любое её решение даёт коэффициенты разложения вектора по системе векторов .
Две системы ЛАУ относительно одних и тех же неизвестных называются эквивалентными, если каждое решение одной системы является решением другой системы или обе они не совместны.
Линейное уравнение вида:
называют однородным, если в нём . соответственно СЛАУ называют также однородной, если все её свободные члены равны нулю:
Однородная система всегда совместна, так как она имеет следующие очевидное решение:
Это решение называется нулевым или тривиальным в случае если значения хотя бы одного неизвестного отлично от нуля, то решение называется нетривиальным.
Совместная система ЛАУ называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если число решений 2 и более.
В матричной форме СЛАУ можно заменить одним эквивалентным ей матричным уравнением:
в котором матрицы A, Z, B, определяются соотношением:
Решение матричного уравнения (5) заключается в отыскании такого столбца , который при заданной матрице и заданном столбце обращает уравнение (5) в тождество.
2) Существование и единственность решения СЛАУ
Однородная система ЛАУ может иметь и нетривиальное решение. Существование нетривиального решения система линейных алгебраических уравнений эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы коэффициентов A, поскольку линейная зависимость предполагает существование чисел , которые не все равны нулю и такие, что справедливы равенства:
Теорема 1 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
В силу данной теоремы линейная зависимость столбцов матрицы , будет иметь место только тогда, когда не все столбцы этой матрицы являются базисными, то есть когда порядок r базисного минора меньше числа её столбцов.
Теорема 2 Однородная система ЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы меньше числа её столбцов.
Следствие Квадратная однородная система ЛАУ имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю.
То есть при ранг матрицы будет меньше числа тогда и только тогда, когда .
В общем случае существование решения неоднородной СЛАУ определяется теоремой Кронекера-Капели (теорема 3).
Теорема 3 Для того, что бы линейная система ЛАУ являлось совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы.
На вопрос о единственности решения СЛАУ может помочь найти ответ теорема о числе решений (теорема 4).
Теорема 4 Пусть для системы m линейных уравнений с неизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных ( ), то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( ), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся неизвестных определится уже единственным образом.
Структура общего решения
Поскольку СЛАУ можно записать в матричной форме (5), то путём применения операций над век торами, вектор – столбец неизвестных Z можно определить из выражения:
где – обратная матрица.
После преобразований, решение СЛАУ при использовании матричного метода может быть найдено из соотношений:
Данное решение СЛАУ называется методом Крамера.
Практическое использование этого метода связано с громоздкими вычислениями (для решения системы уравнений с неизвестными приходится вычислить определитель -го порядка). Кроме того, если коэффициент уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближённые каких-либо измеримых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам, а иногда бывает нецелесообразным.
Пример. Найдём решение СЛАУ:
Система неоднородна, СЛАУ совместна; так как , то СЛАУ имеет единственное решение .