Преобразование случайного сигнала нелинейными элементами электронного тракта

Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор

Амплитудный детектор, состоящий из диода и фильтра нижних частот (см. рис. 1.1) представляет собой сочетание НБЭ с инерционной линейной цепью.

Рассмотрим самостоятельные части указанного устройства:

нелинейный элемент
фильтр нижних частот

Изложенные ранее методы позволяют, в принципе, найти плотность вероятности и корреляционную функцию шума сначала на выходе нелинейного элемента (диода), а затем и на выходе фильтра. В общем случае эти исследования требуют весьма громоздких вычислений. Задачу можно упростить, если учесть принцип работы реальных устройств.

Рассмотрим вначале "линейное" детектирование, т.е. детектирование высокочастотного колебания с достаточно большими амплитудами. Под такими колебаниями подразумеваются гауссовский шум, сформированный избирательными цепями на входе детектора. Как и при детектровании детерминированных амплитудно-модулированных, можно считать, что напряжение на выходе линейного детектора воспроизводит огибающую амплитуду высокочастотного колебания, в данном случае огибающую шума. Поэтому при линейном детектировании нет необходимости рассматривать отдельно статистические характеристики тока диода и напряжения на выходе RC-цепи. Напряжение S v i h s l ( t ) , развиваемое на этой цепи, можно приравнять огибающей шума на входе детектора S v i h s l ( t ) (т.е. считать, что коэфициент передачи детектора равен единице). При таком подходе статистические характеристики шума на выходе поностью совпадают с приведенными характеристиками огибающей A ( t ) . В соответствии с изложенным можно считать, что напряжение шума на выходе линейного детектора обладает рэлеевским распределением плотности вероятности

Находим математическое ожидание шумового напряжения

Средний квадрат напряжения

Отсюда получим дисперсию на выходе линейного детектора

а корреляционная функция

Рассмотрим воздействие гауссовского шума на квадратичный детектор. Напряжение на выходе детектора с учетом фильтровывания высокочастотной составляющей шума

Таким образом, при воздействии на квадратичный детектор с фильтром нижних частот узкополосного гауссовского процесса шум на выходе всего устройства имеет экспоненциальное распределение. Найдем математическое ожидание выходного напряжения шума.

Средний квадрат напряжения

Дисперсия шума на выходе

Для полного описания свойств шума на выходе квадратичного детектора остается вычислить его корреляционную функцию и спектр мощности.

Совместное воздействие гармонического сигнала и нормального шума на амплитудный детектор

При анализе воздействия колебания на амплитудный детектор статистические характеристики фазы можно не учитывать. Основное значение имеет плотность вероятности p ( a o g ) огибающей a o g ( t ) , определяется по формуле:

Рассмотрим вначале линейное детектирование. Считаем, что напряжение на выходе детектора совпадает с огибающей амплитуд высокочастотного напряжения на входе. Тогда, основываясь на формуле ( 2.4 ) , находим постоянную составляющую напряжения на выходе детектора.

Средний квадрат напряжения

После вычисления интегралов получим следующие выражения:

Из последнего выражения вытекает равенство ( σ s v i h ) 2 = 2 ( σ s v h ) 2 + a 0 2 − ( m s v i h ) 2

Следовательно, отношение мощности сигнала к мощности помехи на выходе линейного детектора

Рассмотренный вопрос имеет важное значение для проблемы обнаружения сигналов на фоне сильной помехи.

Отношение "сигнал/помеха" на выходе

Проведенный анализ относится к гармоническому (немодулированному) сигналу. Наличие амплитудной модуляции сигнала, которую можно рассматривать как медленное изменение постоянной составляющей напряжения на выходе детектора, не оказывает существенного влияния на сравнительную оценку ( C / Π ) v i h при квадратичном и линейном детектировании.

Из этого следует, что наложение паразитной частотной или фазовой модуляции на сигнал (при постоянной амплитуде) не оказывает влияния на отношение "сигнал/помеха" на выходе детектора.

Совместное воздействие гармонического сигнала и нормального шума на частотный детектор

при отсутствии полезной ЧМ, когда на входе детектора действует чисто гармоническое колебание c ( t ) = a c c o s 2 π ν t 0 t и шум Π ( t )
при наличии ЧМ; при этом будем считать, что помеха на выходе детектора остается той же, что и в первом случае.

В отсутствие модуляции суммарное колебание на входе АО

В реальных условиях приема ЧМ колебаний обеспечивается значительное превышение сигнала над помехой.

а спектр помехи на выходе частотного фильтра в соответствии с ( 3.4 )

Корреляционная функция помехи на выходе (с полосой пропускания ν t m a x m )

дисперсия, т.е. средняя мощность помехи,

Рассмотрим режим работы ЧД, при котором напряжение на выходе ЧД пропорционально девиации частоты. При тональном ЧМ

Пример

Таким образом, окончательно

Следует подчеркнуть, что преимущества широкополосной частотной модуляции сохраняются, пока помеха на входе ЧД слабее сигнала и пока обеспечивается ограничение амплитуды колебания на входе детектора.

Статистический анализ нелинейных систем

Рассмотрим общий случай нестационарной полиномиальной системы, которая описывается выражением

Тогда используя свойство линейности оператора М и меняя местами операции интегрирования и усреднения, получим следующую формулу для вычисления математического ожидания сигнала на выходе полиномиальной системы:

Двумерный момент второго порядка для процесса g ( t ) определяется как

Вычисление моментов высших порядков упрощается, если система стационарна и сигнал на входе нелинейной системы также является стационарным.

Пусть на входе стационарной нелинейной полиномиальной системы действует случайный нестационарный сигнал. Это означает, что ядра системы не изменяются во времени (являются стационарными), а сигнал на выходе системы определяется выражением

Тогда математическое ожидание сигнала g ( t )

Определим теперь корреляционную функцию сигнала на выходе нелинейной системы, когда на входе действует нестационарный случайный сигнал. По определению, корреляционная функция для вещественных случайных процессов

Определим спектральную плотность математического ожидания нестационарного случайного процесса на выходе нелинейной системы. Выражение ( 4.5 ) представим в виде

Определим теперь спектральную плотность мощности нестационарного случайного процесса. Как известно она связана с ковариационной функцией соотношениями

Для вычисления спектральной плотности математического ожидания и спектральной плотности мощности можно использовать тот же алгоритм, что и для детерминированных сигналов, с той лишь разницей, что в качестве входных воздействий здесь следует рассматривать моменты функции случайного процесса на входе системы.

Пусть теперь на входе полиномиальной нелинейно системы действует стационарный случайный сигнал

Сигнал на выходе стационарной полиномиальной системы

Математическое ожидание сигнала на выходе полиномиальной системы можно представить в ином виде, выразив его через Фурье-образы ядер и спектральные потности моментов случайного процесса. Если математическое ожидание случайного сигнала u ( t ) равно нулю, то выражение для математического ожидания сигнала g ( t ) можно записать так:

Определим ковариационную функцию сигнала на выходе стационарного случайного сигнала. Как известно в этом случае ковариационная функция

Спектральная плотность стационарного случайного процесса определяется как преобразование Фурье от ковариационной функции и наоборот. Аналогичными соотношениями связана спектральная плотность центрированного стационарного случайного процесса с корреляционной функцией:

Полученные выше выражения применимы для анализа нелинейных систем когда на их входе действуют случайные сигналы с любым законом распределения плотности вероятности. Наиболее часто встречаются на

практике и поэтому занимают особое место среди других случайные процессы с гауссовским законом распределения потому что большинство случайных процессов действующих в электрических цепях таких например как дробовый шум, тепловые флуктуации, атмосферные и космические шумы, представляют собой суммарный эффект большого числа сравнительно слабых элементарных импульсов, возникающих в случайные моменты времени. Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей плотность вероятности суммы случайных величин неограниченно приближаются к нормальной с увеличением числа слагаемых независимо от того какие плотности вероятности имеют отдельные слагаемые.

Для практики важно рассмотреть действие на нелинейные системы случайных стационарных сигналов с гауссовским законом распределения плотности вероятности. Для вычисления центральных n-мерных моментов гауссовского стационарного случайного процесса существует следующая рекуррентная формула:

С учетом перечисленных свойств гауссовских случайных процессов формулу для расчета математического ожидания сигнала на выходе полиномиальной системы четвертого порядка при действии гауссовского случайного сигнала на входе можно записать так:

Учитывая формулы для многомерных моментов гауссовского случайного процесса, спектральную плотность мощности центрированного случайного процесса на выходе нелинейной полиномиальной системы второго порядка можно определить выражением

Если ядра системы сепарабельны то нетрудно показать что спектральная плотность мощности выходного сигнала

Это подтверждает правомерность использования аппарата многомерного преобразования Фурье в задачах анализа нелинейных систем тракта КПС.

Отметим еще одно важное свойство гауссовских процессов которое можно использовать при статистическом анализе нелинейных систем. Плотность распределения вероятности случайного сигнала на выходе любого нелинейного элемента изменяется. Поэтому если на входе такого элемента действует случайный сигнал с гауссовским законом плотности распределения вероятности, то на выходе сигнал поступает в нелинейное частотно-зависимое звено, у кторого полоса пропускания меньше, чем полоса частот сигнала, то сигнал по своим свойствам приблизится к гауссовскому сигналу. Такое приближение те точнее чем уже полоса пропускания звена. Это свойство случайных сигналов позволяет упростить анализ и синтез тракта КПС при воздействии случайных сигналов.

Для иллюстрации применения статистического анализа нелинейных систем с использованием полиномов Вольтера определим математическое ожидание и спектральную плотность мощности сигнала на выходе фотоприемника, когда на его входе действует случайный стационарный гауссовский сигнал. Считаем, что полезная информация о сигнале содержится в амплитуде лучистого потока, которыйпопадает на чувствительную площадку фотоприемника. Тогда в соответствии с изложенным в разделе "модель детектора приемника" модель фотоприемника представим последовательным соединением нелинейного и линейного звеньев. Спектр сигнала на выходе такой системы определяется выражением

Предположим, что амплитуда сигнала изменяется в небольших пределах; при заданной точности нас устраивает полином второй степени (N=2). Тогда с учетом аддитивного шума самого фотоприемника спектр реализации сигнала на выходе приемника, когда на входе действует случайный сигнал u ( t ) .

Итак, мы убедились, что реализацию на ЭВМ модельного представления нелинейных подсистем можно осуществить теми же програмными средствами, что и для одномерного тракта КПС, описанного в линейном приближении.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎