Формула подсчёта количества дней в месяце

Примечание: данный пост является переводом статьи cmcenroe.me/2014/12/05/days-in-month-formula.html (Часть I), а также авторским к нему дополнением (Часть II). Не следует относиться к материалу серьёзно, а скорее как к разминке для ума, требующей не более чем школьных знаний арифметики и не имеющей практического применения. Всем приятного чтения!

Часть I

Вступление

Недавно, после очередной бессонной ночи, я размышлял о методах запоминания количества дней в каждом месяце года. Для этого есть считалочка, а также способ считать на костяшках пальцев, но ни то, ни другое меня не устроило. Я задумался, а не существует ли какой-нибудь математической формулы для решения такой задачи, и — не обнаружив при беглом изучении таковую — бросил себе вызов её создать.

ФормализуяДругими словами, необходимо найти функцию f, такую, что значение f(x) для каждого месяца x, представленного числом от 1 до 12, равняется количеству дней в этом месяце. Таблица значений аргумента и функции 1 : x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 Если у вас возникло желание попробовать самому до прочтения моего решения, то сейчас самое время. Если же вы предпочитаете немедленно увидеть готовый ответ, то посмотрите под спойлер.

Математический аппарат

Сначала бегло освежим в памяти два жизненно необходимых в решении этой задачи оператора: целочисленное деление и остаток от деления.

Целочисленное деление это оператор, применяемый во многих языках программирования при делении двух целых чисел и отбрасывающий от частного дробную часть. Я буду изображать его как . Например:

Замечу, что остаток от деления имеет равный с делением приоритет.

Основы

Получаем таблицу, полужирным выделены корректные значения: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x) 31 30 31 30 31 30 31 30 31 30 31 30 Неплохое начало! Уже есть правильные значения для января и для месяцев с марта по июль включительно. Февраль — особый случай, и с ним мы разберёмся чуть позже. После июля для оставшихся месяцев порядок получения 0 и 1 должен быть изменён на обратный. Для этого мы может прибавить к делимому 1:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x) 30 31 30 31 30 31 30 31 30 31 30 31 Теперь правильные значения с августа по декабрь, но, как и предполагалось, значения для прочих месяцев неверны. Давайте посмотрим как мы можем объединить эти формулы.

Наложение маски

Для этого необходима кусочно-заданная функция, но — так как мне это показалось скучным — я задумался о другом пути решения, использующем одну часть функции на одном интервале, другую — на другом. Полагаю, что проще всего будет найти выражение, равное 1 в одной области применения и 0 — в остальной. Метод, в котором умножая аргумент на выражение мы исключаем его из формулы вне области его применения, я назвал «наложением маски», потому такое поведение подобно некой битовой маске. Для применения этого метода в последней части нашей функции необходимо найти выражение, равное 1 при , и — так как значения аргумента всегда меньше 16 — для этого прекрасно подходит целочисленное деление на 8. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ⌊ x ⁄8⌋ 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 Теперь с помощью этой маски, используя в делимом выражение вместо 1, мы можем заменить порядок получения 0 и 1 формуле на обратный:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x) 31 30 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 Эврика! Всё правильно, кроме февраля. Сюрприз-сюрприз.

Февраль

В любом месяце 30 или 31 день, кроме февраля с его 28 (високосный год выходит за рамки этой задачи). 3 На текущий момент по нашей формуле в нём 30 дней, поэтому неплохо бы вычесть выражение, равное 2 при . Лучшее что мне удалось придумать это , что накладывает маску на все месяцы после февраля: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 mod x 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Изменив базовую константу на 28 с добавлением 2 к остальным месяцам получим формулу: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x) 29 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 К сожалению, январь теперь короче на 2 дня. Но, к счастью, получить выражение, которое будет применяться только для первого месяца очень легко: это округлённое вниз обратное к число. Умножив его на 2 получаем окончательную формулу:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

Послесловие

Вот она — формула для получения количества дней в любом месяце года, использующая простейшую арифметику. В следующий раз когда вы будете вспоминать сколько же дней в сентябре, просто выполните с помощью этой однострочной функции на JavaScript:

Часть II

Вступление

Остаток от деления: mod и ⌊⌋

Високосный год

В високосный год вводится дополнительный день календаря: 29 февраля. Как известно, високосным является год, кратный 4 и не кратный 100, либо кратный 400. Запишем тождественное этому высказыванию выражение:

Для приведения этого выражения в алгебраическое, необходимо применить к результату выражения инъекцию вида:

Что позволит получить 1 при делении без остатка и 0 при делении с остатком, чтобы использовать её в формуле определения количества дней в месяце.

В качестве функции g' можно использовать 1 минус остаток от деления для : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 g'(x) Infinity 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Легко заметить, что увеличив делимое и делитель на 1 мы получим правильную формулу при : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 g'(x) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Таким образом выражение запишем как:

Применяя этот подход получим следующую функцию g(y), значением которой будет 1, если год високосный, или 0 в обратном случае:

y 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 g(y) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 y 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 g(y) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 Полужирным выделены високосные года.

Напоминаю, что в рамках принятой договорённости оператор получения остатка от деления может быть изображен как mod, так и ⌊⌋.

Наложение маски

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x, 2000) 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 f(x, 2001) 30 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 30 Значения для всех месяцев, кроме января не високосного года верны.

Для исправления этого досадного недоразумения добавим к январю 1 день уже известной нам формулой :

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x, 2000) 32 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 f(x, 2001) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 30

Теперь необходимо вычесть 1 день из января в случае високосного года, для чего нам поможет знание того, что для любого x , а .

Тогда формула примет вид:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x, 2000) 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 f(x, 2001) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 30

Заключение

В результате получена уже значительно более громоздкая, но более универсальная формула, которую также можно использовать для получения количества дней в месяце определённого года:

Пример на C# ideone.com/fANutz. 1. Я не умею пользоваться подобной мнемоникой, поэтому подсмотрел табличку в интернете. 2. «Основы», или «Правило С Многими Исключениями», как и большинство правил. 3. Изначально в римском календаре февраль был последним месяцем года, поэтому есть логика в том, что он короче всех остальных. Также есть логика в добавлении или удалении дня именно в конце года, поэтому его длина является переменной.

Upd. 1: Альтернативный перевод первой части в сообществе вконтакте. Upd. 2: Благодаря комментарию keksmen исправлена ошибка в формуле определения високосного года (g(y)) и исправлена итоговая формула.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎