Тригонометрические формулы методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Учебные задачи: формирование умений применять формулы сложения и формулы двойного угла в вычислениях и тождественных преобразованиях выражений и при решении уравнений.

Часто при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений применяются формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

cos(  –β)= cos α cos β + sin α sin β (1) – формула косинуса разности.

cos(  +β)= cos α cos β – sin α sin β (2) – формула косинуса суммы.

sin(  +β)= sin α cos β + cos α sin β (3) – формула синуса суммы.

sin(  –β)= sin α cos β – cos α sin β (4) – формула синуса разности.

Формулы (1)-(4) – формулы сложения для косинуса и синуса.

(5) – формула тангенса суммы.

(6) – формула тангенса разности.

Формулы сложения позволяют получить формулы двойного угла .

Положим β = α, получим тождества:

sin 2 α= 2 sin α cos α (7)

cos 2 α= sin 2 α – cos 2 α (8)

Рассмотрим примеры их использования при выполнении заданий ЕГЭ части В.

Пример 1) Упростить выражение

sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α).

Решение. По формуле (3) получим

sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α) = sin 5α – cos α.

Ответ. sin 5α – cos α.

Пример 2) Упростить выражение

4sin 2 α +5 –4 cos 2 α .

4sin 2 α +5 –4 cos 2 α=4sin 2 α–4 cos 2 α+5=4(sin 2 α– cos 2 α) + 5= 4 cos2 α +5. Применили формулу (8).

Ответ. 4 cos2 α +5.

Пример 3 ) Найти значение выражения

(sin 2 х – cos 2 х), если .

( sin 2 х – cos 2 х)= – cos 2 α.

( sin 2 х – cos 2 х)= –·= 2 .

Пример 4 ) Решить уравнение sin 2 х —sin 2х = 0.

После замены sin 2х на 2 sin х cos х по формуле (7) уравнение приводится к виду

sin 2 х –2 sin х cos х = 0.

Разложим левую часть на множители

sin х (sin х – 2 cos х) = 0 ,

sin x=0 , т. е. х = πn, nZ ,

sin х –2 cos х = 0,

tg х=2 и x = arctg 2 + πk , k Z.

Можно было разделить обе части уравнения на cos 2 х и получить уравнение

Если же делить на sin 2 х, то нужно учесть, что те х, при которых sin х = 0 ,– также решения данного уравнения. Поэтому к корням полученного после деления на sin 2 х уравнения ctg х–=0 надо добавить корни уравнения sinx = 0 .

Ответ . πn, nZ, arctg 2 + πk , k Z.

Пример 5. Найти произведение целых значений функции

Запишем функцию в виде

Т.к. выполняется равенство , то применим метод вспомогательного аргумента. Положим sin φ= , cos φ= . Тогда

= 3 + sin φ cos x– cos φ sin x= 3 + sin(φ–x).

Найдем произведение целых чисел из промежутка [2;4].

Перед выполнением самостоятельных заданий и тестов, повторите пройденный материал с помощью http://www.openclass.ru/node/25459, http://www.openclass.ru/dig-resource/44994

1. Лаппо, Л.Д. ЕГЭ. Тематические тренировочные задания. Уровень А, В, С/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов.– М.: Издательство «Экзамен», 2008. –93 с.
2. Подготовка к ЕГЭ – 2009. Вступительные испытания / Под ред. Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, 2008. – 400 с.
3. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 270 с.
4. Кочагин В.В. ЕГЭ – 2009. Математика: сборник заданий/ В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: Эксмо, 2008.– 208 с.
5. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2009: Математика / авт.-сост. В.И. Ишина, В.В. Кочагин, Л.О. Денищева и др. – М.: АСТ: Астрель, 2009.– 124 с. – (ФИПИ)
6. Сергеев, И.Н. ЕГЭ. Математика. Задания типа С / И.Н. Сергеев. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. –318 с.
7. Самые новые реальные задания: ЕГЭ – 2009: Математика / авт.-сост. В.И. Ишина, Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков и др. – М.: АСТ: Астрель, 2009.– 125 с. – (ФИПИ)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация разноуровневых заданий по алгебре по теме "Тригонометрические формулы" для учащихся 10 классов.

Презентация урока повторения и закрепления тригонометрических формул.

Урок систематизации и обобщения материала по теме "Тригонометрические формулы" в 10 классе представлен в форме турнира. В урок включены занимательные упражнения, дифференцированные зад.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ ПОМОГАЕТ ПОВТОРИТЬ ИЗУЧЕННЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ТЕМЕ "ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ" .

конспект урока в 10 классе и презентация к нему по теме "решение тригонометрических уравнений с помощью тригонометрических формул". Цели урока: знакомство обучающихся со способами решения тригонометри.

Урок по теме "Тригонометрические формулы сложения и следствия из них предназначен для учителей, работающих в старшей школе.