Урок в 10 классе на тему: "Вероятностный подход к определению количества информации"
Цели: ввести понятие «количество информации»; сформировать у обучающихся понимание вероятности, равновероятных событий, не равновероятных событий; научить находить количество информации.
Требования к знаниям и умениям:
Обучающиеся должны знать:
- какие события являются равновероятными, какие - не равновероятными;
- как найти вероятность события;
- как найти количество информации в сообщении, что произошло одно из равновероятных событий или одно из не равновероятных событий.
обучающиеся должны уметь:
- различать равновероятные и не равновероятные события;
- находить количество информации в сообщении, что произошло одно из равновероятных событий или одно из не равновероятных событий;
- находить количество возможных вариантов того или иного события, если известно количество информации в сообщении о том, что событие произошло.
Программно-дидактическое обеспечение: таблицы.
I. Постановка целей урока
1. Вы можете передать другу килограмм конфет, получить у продавца 3 метра ткани, передать брату немного своего тепла. А как получить или передать некоторое количество информации?
2. «Орел» и «решка». В чем заключено больше информации?
3. Игра «Угадай число». Как угадать число на наименьшее количество попыток?
II. Проверка домашнего задания
III. Изложение нового мат риала
1. Введение понятия «количество информации»
Мы с вами говорили о том, что в основе нашего мира лежат три составляющие - вещество, энергия и информация. А как много в мире вещества, энергии и информации.
- Можно ли измерить количество вещества и как именно? (Вещество можно взвесить (в килограммах, гаммах и т.д.) на весах, определить его длину (в сантиметрах, в метрах и т.д.) с помощью линейки; найти его объем, применив соответствующие измерения и т.д.)
- Можно ли определить количество энергии? (Можно, например, найти количество тепловой энергии в Дж, электроэнергии в кВт/ч, и т.д.)
- Можно ли измерить количество информации и как это сделать? (Полного и правильного ответа на этот вопрос учащиеся не дадут.)
Оказывается, информацию также можно измерять и находить ее количество.
Существуют два подхода к измерению информации.
Один из них называется содержательный или вероятностный. Из названия подхода можно сделать вывод, что количество информации зависит от ее содержания.
Упражнение 1 (устно)
Определите количество информации в следующих сообщениях с позиции «много» или «мало».
1. Столица России - Москва.
2. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
3. Дифракцией света называется совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюдаются при его распространении в среде с резко выраженной оптической неоднородностью.
4. Эйфелева башня имеет высоту 300 метров и вес 9000 тонн.
Пояснение: попросите учеников пояснять ответы, задавая им наводящие вопросы о том, содержит ли сообщение новые и понятные сведения.
Сообщение несет больше информации, если в нем содержатся новые и понятные сведения. Такое сообщение называется информативным. Необходимо различать понятия информация и информативность.
Содержит ли информацию учебник физики за 10 класс? (Да).
Для кого он будет информативным - для ученика 10 класса или 1 класса? (Для ученика 10 класса он будет информативным, так как в нем содержится новая и понятная ему информация, а для ученика 1 класса она информативной не будет, так как информация для него непонятна.)
Вывод: количество информации зависит от информативности.
Количество информации в некотором сообщении равно нулю, если оно с точки зрения конкретного человека неинформативно. Количество информации в информативном сообщении больше нуля.
Но информативность сообщения сама по себе не дает точного определения количества информации. По информативности можно судить только о том, много информации или мало.
2. Введение понятия вероятностного подхода в измерении информации
Рассмотрим понятие информативности с другой стороны. Если некоторое сообщение является информативным, следовательно, оно пополняет нас знаниями или уменьшает неопределенность наших знаний. Другими словами сообщение содержит информацию, если оно приводит к уменьшению неопределенности наших знаний.
Пояснение: пример можно продемонстрировать практически.
Мы бросаем монету и пытаемся угадать, какой стороной она упадет на поверхность. Возможен один результат из двух: монета окажется в положении «орел» или «решка». Каждое из этих двух событий окажется равновероятным, т.е. ни одно из них не имеет преимущества перед другим.
Перед броском монеты мы не знает, как она упадет. Это событие предсказать невозможно, т.е. перед броском существует неопределенность нашего знания (возможно одно событие из двух). После броска наступает полная определенность знания, т.к. мы получаем зрительное сообщение о положении монеты. Это зрительное сообщение уменьшает неопределенность нашего знания в два раза, т.к. из двух равновероятных событий произошло одно.
Если мы кидаем шестигранный кубик, то мы также не знаем перед брос ком, какой стороной он упадет на поверхность. В этом случае, возможно получить один результат из шести равновероятных. Неопределенность знаний равна шести, т.к. именно шесть равновероятных событий может произойти. Когда после броска кубика мы получаем зрительное сообщение о результа те, то неопределенность наших знаний уменьшается в шесть раз.
Упражнение 2 (устно)
Еще один пример. На экзамен приготовлено 30 билетов.
- Чему равно количество событий, которые могут произойти при вытягивании билета? (30)
- Равновероятны эти события или нет? (Равновероятны.)
- Чему равна неопределенность знаний ученика перед тем как он вытянет билет? (30)
- Во сколько раз уменьшится неопределенность знания после того как ученик билет вытянул? (В 30раз.)
- Зависит ли этот показатель от номера вытянутого билета? (Нет, т.к. события равновероятны.)
Приведите свои примеры равновероятных событий с указанием величины неопределенности знаний. Из всех рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: Чем больше начальное число возможных равновероятных событий, тем в большее количество раз уменьшается неопределенность наших знаний, и тем большее количество информации будет содержать сообщение о результатах опыта.
А каким может быть самое маленькое количество информации? Вернемся к примеру с монетой. Предположим, что у монеты обе стороны «орел».
- Существует ли неопределенность знаний пред броском в этом случае? Почему? (Нет, так как мы заранее знаем, что выпадет в любом случае «орел».)
- Получите вы новую информацию после броска? (Нет, так как ответ мы уже знали заранее.)
- Будет ли информативным сообщение о результате броска? (Нет, так оно не принесло новых и полезных знаний.)
- Чему равно количество информации в этом случае? (Нулю, т.к. оно неинформативно.)
Вывод: мы не получаем информации в ситуации, когда происходит одно событие из одного возможного. Количество информации в этом случае равно нулю. Для того чтобы количество информации имело положительное значение, необходимо получить сообщение о том, что произошло событие как минимум из двух равновероятных. Такое количество информации, которое находится в сообщении о том, что произошло одно событие из двух равновероятных, принято за единицу измерения информации и равно 1 биту .
1 Бит - количество информации, содержащееся в о или 1.
Итак, с помощью битов информация кодируется. С точки зрения кодирования с помощью 1 бита можно закодировать два сообщения, события или два варианта некоторой информации. С точки зрения вероятности 1 бит — это такое количество информации, которое позволяет выбрать одно событие из двух равновероятных. Согласитесь, что эти два определения не противоречат друг другу, а совершено одинаковы, но просто рассмотрены с разных точек зрения.
Еще одно определение 1 бита:
1 бит — это количество информации, уменьшающее неопределенность знаний в два раза.
Игра «Угадай число».
Пояснение: попросите кого-нибудь из учеников загадать число из предложенного вами интервала и отгадайте его, а затем расскажите, как вы это сделали. Интервал необходимо выбрать такой, чтобы он являлся степенью числа 2. Это условие упрощает объяснение материала, так как в этом случае правильная стратегия строится на получении максимального количества информации. Детям это пояснять пока не надо. В случае возникновения вопросов по поводу выбора интервала пояснить, что это связано с правильной стратегией игры.
Стратегия поиска:
Необходимо на каждом шаге в два раза уменьшать неопределенность знания, т.е. задавать вопросы, делящие числовой интервал на два. Тогда ответ «Да» или «Нет» будет содержать 1 бит информации. Подсчитав общее количество битов (ответов на вопросы), найдем полное количество информации, необходимое для отгадывания числа.