. 3.5. Частичные пределы последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса
3.5. Частичные пределы последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса

3.5. Частичные пределы последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение 3.16. Если $\ < a_ n\>$ числовая последовательность, $\ < n_ k\>$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность $\ < b_ k\>$, где $\forall k\in \mathbb \colon b_ k = a_$, называют подпоследовательностью $\ < a_ n\>$. Обозначение. $\< a_\> $

Лемма 3.4. Если последовательность имеет предел в $\overline$, то любая её подпоследовательность имеет тот же предел.

$\blacktriangle $ Пусть $\lim \limits _a_ n = a, \< a_\> $ — подпоследовательность $\ < a_ n\>$.

Покажем, что $\forall k \in \mathbb \colon n_ k \geqslant k$.

ММИ: для $k=1\ n_1 \geqslant 1$ — верно. Пусть неравенство выполняется для любого $k$. Тогда оно выполняется и для $k+1$: $n_ > n_ \geqslant k \Rightarrow n_ \geqslant k+1$.

$\lim \limits _a_ n = a \Rightarrow \forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon \in \mathbb \ \forall n > N_\varepsilon \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)$. Тогда $\forall k > N_\varepsilon \colon $ $n_ k > k > N_\varepsilon \Rightarrow $ $a_ \in

B_\varepsilon (a)$, т.е. $\lim \limits _a_ = a$.

Определение 3.17. Точка $a\in \overline$ называется частичным пределом $\ < a_ n\>$, если $\exists \< a_\> $ — подпоследовательность $\ < a_ n\>$, т.ч. $\lim \limits _a_ = a$.

Теорема 3.11 (Критерий частичного предела). $a \in \overline$ — частичный предел $\ < a_ n\>$ $\Leftrightarrow $ $ \forall \varepsilon > 0\ B_\varepsilon (a)$ содержит бесконечно много членов $a_ n$ (т.е. $\< n \in \mathbb \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)\> $ — бесконечно).

$\blacktriangle $ ($\Rightarrow $) Пусть $a$ — частичный предел $\ < a_ n\>$ $\Rightarrow $$\exists \< a_\> $ — подпоследовательность $\ < a_ n\>$, что $a = \lim \limits _\< a_\> $. Тогда $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall k > N\colon a_ \in B_\varepsilon (a) \Rightarrow $ в $B_\varepsilon (a)$ содержится бесконечное число членов $\< a_\> $, а следовательно, и самой последовательности $\ < a_ n\>$.

($\Leftarrow $) Пусть в любой окрестности $B_\varepsilon (a)$ точки $a \in \overline$ содержится бесконечное число членов $\< a_\> $. Выберем $n_1 \in \mathbb \colon a_ \in B_1(a)$. Если уже выбраны $n_1, n_2, \ldots , n_ m \in \mathbb \colon n_1 < n_2 < \ldots < n_ m$ и $a_ \in B_(a)\ (1 \leqslant k \leqslant m)$, то выберем $n_$ так, что $n_ > n_ m$ и $a_ \in B_(a)$. Так будет построена подпоследовательность $\< a_\> $. Покажем, что $a = \lim \limits _a_$. Действительно, $\forall \varepsilon > 0\ \exists N = \frac1\varepsilon \ \forall k > N \colon a_ \in B_(a) \subset B_\varepsilon (a)$. $\blacksquare $

Следствие. $+\infty \ (-\infty )$ — частичный предел $\ < a_ n\>\Leftrightarrow $ $\ < a_ n\>$ неограничена сверху (снизу).

$\blacktriangle $ Докажем для $+\infty $. Доказательство для $-\infty $ аналогично.

Если $+\infty $ не является частичным пределом $\ < a_ n\>$, то $\exists \varepsilon >0$, что $B_\varepsilon (+\infty )$ содержит лишь конечное число членов $a_ n$. Тогда $\forall n\in \mathbb \colon $ $a_ n \leqslant \max \ < \frac1\varepsilon , a_ n\mboxa_ n\in B_\varepsilon (+\infty )\> $, т.е. $\ < a_ n\>$ ограничена сверху.

Если $\ < a_ n\>$ ограничена сверху, то $\exists M\in \mathbb \colon a_ n\leqslant M$. Найдём $\varepsilon >0\colon \frac1\varepsilon >M$. Тогда в $B_\varepsilon (+\infty )$ нет членов $\ < a_ n\>$ и, значит, по Т3.11 $+\infty $ не является частичным пределом. $\blacksquare $

Теорема 3.12. Множество частичных пределов последовательности не пусто в $\overline$.

$\blacktriangle $ Пусть $L$ — множество частичных пределов последовательности $\ < a_ n\>$. Пусть

$E = \< x \in \mathbb \colon x = a_ n, n \in \mathbb \> $ — множество значений $\ < a_ n\>$.

$E$ — конечно $\Rightarrow \exists a \in E, \exists \ < n_ k\>$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, что $a = a_ \Rightarrow \lim \limits _a_ = a \Rightarrow a\in L$.

$E$ — бесконечно $\Rightarrow \exists a$ — предельная точка $E$ $\Rightarrow $ $\forall \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon (a) \cap E$ — бесконечно $\Rightarrow $

$\forall \varepsilon > 0\ \< n \in \mathbb \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)\> $ — бесконечно $\Rightarrow a$ — частичный предел $\ < a_ n\>$, т.е. $a\in L$.

Следствие (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

$\blacktriangle $ По Теореме 3.12 множество частичных пределов последовательности непусто в $\overline$, но $\pm \infty $ по следствию из Т3.11 не является частичным пределом $\Rightarrow $ множество частичных пределов содержит действительное число. $\blacksquare $

Теорема 3.13. Множество частичных пределов в $\overline$ (и в $\mathbb $) замкнуто.

$\blacktriangle $ Пусть $L$ — множество частичных пределов $\ < a_ n\>$. Покажем, что $\overline\backslash L\ (\mathbb \backslash L)$ открыто.

Пусть $y \in \overline\backslash L \Rightarrow \exists B_\varepsilon (y)$, содержащая лишь конечное число членов $\ < a_ n\>$. Т.к. $B_\varepsilon (y)$ — открытое множество, то $\forall x \in B_\varepsilon (y)\ \exists B_\delta (x) \subset B_\varepsilon (y)$. Но тогда в $B_\delta (x)$ лишь конечное число членов $\ < a_ n\>$ $\Rightarrow x$ не является частичным пределом $\ < a_ n\>\Rightarrow x \in \overline\backslash L\ (\mathbb \backslash L) \Rightarrow B_\varepsilon (y) \subset \overline\backslash L\ (\mathbb \backslash L) \Rightarrow $

$ \overline\backslash L\ (\mathbb \backslash L)$ открыто $\Rightarrow L$ — замкнуто. $\blacksquare $

Следствие. Множество частичных пределов последовательности имеет максимальный и минимальный элементы в $\overline$.

$\blacktriangle $ Пусть $L$ — множество частичных пределов $\ < a_ n\>$. По Т3.12 и Т3.13 множество $L$ непусто и замкнуто в $\overline$. Если $L$ ограничено, то по Т2.3 $L$ имеет максимальный и минимальный элементы. Если $L$ неограничено сверху (снизу), то сама последовательность $\ < a_ n\>$ не ограничена сверху (снизу) $\Rightarrow +\infty \ (-\infty ) \in L$ по следствию из Т3.11 $\Rightarrow $ $+\infty $ — максимальный элемент $L$ ($-\infty $ — минимальный элемент $L$). $\blacksquare $

Определение 3.18.

Верхний предел последовательности $\ < a_ n\>$ — это наибольший из частичных пределов $\ < a_ n\>$ в $\overline$. Обозначение. $\varlimsup \limits _a_ n$.

Нижний предел последовательности $\ < a_ n\>$ — это наименьший из частичных пределов $\ < a_ n\>$ в $\overline$. Обозначение. $\varliminf \limits _a_ n$.

Теорема 3.14. Справедливы равенства:

$$\varlimsup \limits _a_ n = \lim \limits _\sup \limits _ \ < a_ k\>, \quad \varliminf \limits _a_ n = \lim \limits _\inf \limits _ \ < a_ k\>.$$

$\blacktriangle $ Докажем первое равенство. Пусть $b_ n = \sup \limits _ \ < a_ k\>$ ($\ < b_ n\>$ — последовательность со значениями в $\overline$). Т.к. $\forall n \in \mathbb \colon b_ n = \sup \limits _ \ < a_ k\>\geqslant \sup \limits _ \ < a_ k\>= b_$ (вытекает из $(X \subset Y \Rightarrow \sup X \leqslant \sup Y)$), то $\ < b_ n\>$ нестрого убывает $\Rightarrow \exists S = \lim \limits _b_ n \in \overline$.

Возможно 3 случая:

$S = +\infty \Rightarrow \forall n \in \mathbb \colon b_ n = +\infty \Rightarrow b_1 = \sup \ < a_ n\>= +\infty \Rightarrow \ < a_ n\>$ — неограниченно сверху $\Rightarrow $ $+\infty $ — частичный предел $\ < a_ n\>\Rightarrow +\infty = \varlimsup \limits _a_ n$.

$S = -\infty $. Поскольку $\forall n \in \mathbb \colon a_ n \leqslant \sup \limits _ \ < a_ k\>= b_ n \stackrel \lim \limits _a_ n = -\infty \Rightarrow $ множество частичных пределов $\ < a_ n\>$ состоит из $-\infty \Rightarrow \varlimsup \limits _a_ n = -\infty $.

$S\in \mathbb $. Тогда $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N\colon b_ n \in B_\varepsilon (S)$. Т.к. $\ < b_ n\>$ нестрого убывает, то $S = \inf \ < b_ n\>\Rightarrow $ $\forall n > N\colon S \leqslant b_ n < S + \varepsilon $. По определению точной верней грани

$\exists k \geqslant n\colon S-\varepsilon < a_ k \leqslant \sup \limits _ \ < a_ k\>= b_ n < S + \varepsilon $. Итак, $\forall \varepsilon > 0\ \forall n \in \mathbb \ \exists k \geqslant n\colon a_ k \in B_\varepsilon (S) \Rightarrow B_\varepsilon (S)$ содержит бесконечно много членов $\ < a_ n\>\Rightarrow S$ — частичный предел $\ < a_ n\>$.

С другой стороны, $\forall n > N\colon a_ n \leqslant \sup \limits _ \ < a_ k\>= b_ n < S + \varepsilon \Rightarrow $ множество $A_\varepsilon = \< x \in \mathbb , x > S + \varepsilon \> $ содержит лишь конечное число членов $\ < a_ n\>$. Множество $A_\varepsilon $ открыто $\Rightarrow $

$\forall y \in A_\varepsilon \ \exists B_\delta (y) \subset A_\varepsilon $ $\Rightarrow $ в $B_\delta (y)$ содержится лишь конечное число членов $\ < a_ n\>\Rightarrow y$ не является частичным пределом $\ < a_ n\>$. Т.к. $\varepsilon > 0$ произвольно, то $\forall x > S\colon $ $x$ не является частичным пределом $\ < a_ n\>$.

Следовательно, $S = \varlimsup \limits _a_ n$. $\blacksquare $

Теорема 3.15. $a = \lim \limits _a_ n \Leftrightarrow \varlimsup \limits _a_ n = \varliminf \limits _a_ n = a$.

$\blacktriangle $ ($\Rightarrow $) Пусть $a = \lim \limits _a_ n$. Тогда по Л3.4 множество частичных пределов $\ < a_ n\>$ состоит только из $a \Rightarrow $ $\varlimsup \limits _a_ n = \varliminf \limits _a_ n = a$.

($\Leftarrow $) Если $\varlimsup \limits _a_ n = \varliminf \limits _a_ n = a$, то по Т3.14 имеем:

$\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon '\ \forall n > N_\varepsilon '\colon \sup \limits _ \ < a_ k\>\in B_\varepsilon (a)$.

$\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon ''\ \forall n > N_\varepsilon ''\colon \inf \limits _ \ < a_ k\>\in B_\varepsilon (a)$.

Положим $N_\varepsilon = \max \ < N_\varepsilon ', N_\varepsilon ''\>$. Тогда, учитывая $\inf \limits _ \ < a_ k\>\leqslant a_ n \leqslant \sup \limits _ \ < a_ k\>$, имеем

$\forall \varepsilon > 0\ \forall n > N_\varepsilon \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)$, т.е. $\lim \limits _a_ n = a$. $\blacksquare $

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎