Скин-эффект в асинхронном двигателе с короткозамкнутым ротором
Курнышев, Б. С. Скин-эффект в асинхронном двигателе с короткозамкнутым ротором / Б. С. Курнышев. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2012. — № 8 (43). — С. 26-28. — URL: https://moluch.ru/archive/43/5244/ (дата обращения: 21.06.2022).
В процессе работы короткозамкнутого асинхронного двигателя (АД) скольжение может изменяться. При скольжении, не равном нулю, в большей или меньшей степени возникает эффект вытеснения тока в стержнях ротора. В электротехнике расчет этого эффекта осуществляют путём введения на переменном токе понятия "эффективное сечение". Это понятие предполагает, что эквивалентное активное сопротивление стержней увеличивается с повышением частоты тока ротора. Однако увеличение эквивалентного активного сопротивления это не единственное проявление эффекта вытеснения тока. Важнее то обстоятельство, что фаза вектора плотности тока перераспределяется по сечению стержней в зависимости от частоты. Поэтому динамические математические модели АД, не учитывающие перераспределение фазы вектора плотности тока, могут в расчётах привести (и приводят) к значительным ошибкам. Кроме того, такие модели, положенные в основу построения систем управления, наблюдателей, идентификаторов состояния и параметров, ограничивают диапазон регулирования скорости асинхронных электроприводов.
В данной статье поставлена задача более детального математического описания эффекта вытеснения тока в стержнях ротора короткозамкнутого (АД) с учётом перераспределения вектора плотности тока по сечению стержней ротора. Решение поставленной задачи достигнуто на основе тензорного анализа электромагнитных процессов в рамках теории электрических цепей с сосредоточенными параметрами.
Пусть активное сопротивление каждого стержня, измеренное на постоянном токе (по закону Ома), равно , а число стержней в роторе . Тогда эквивалентное сопротивление всех стержней, включенных параллельно в короткозамкнутом роторе, на постоянном токе будет равно .
Мысленно разделим сечение каждого стержня на большое число ( ) тонких проводников. Пусть (для упрощения анализа) активное сопротивление всех тонких проводников будет одинаковым. Тогда активное сопротивление каждого тонкого проводника на постоянном токе будет равно . При достаточно большом значении эффектом вытеснения тока в тонких проводниках можно пренебречь. Но, что важно, в тонких проводниках не только сила тока, но и фаза вектора плотности тока будут различаться.
Электромагнитные процесы в роторе могут быть представлены теперь (с учётом разбиения стержней ротора на тонкие проводники) следующей системой высокого порядка однотипных уравнений:
где общее число тонких проводников во всех стержнях ротора, потокосцепления тонких проводников; сила тока в тонких проводниках. В (1) сопротивление тонких проводников, равное , может зависеть от материала, температуры, площади сечения (от ), но, главное, это сопротивление не будет зависеть от частоты, а будет определяться, как обычно, на постоянном токе (по закону Ома).
Для тензорного анализа электромагнитных процессов введем в -мерном дифференциально-геометрическом многообразии систему локальных базисных векторов:
где в общем случае произвольные координаты. Теперь умножим первое уравнение в (1) на , второе уравнение умножим на и т.д. Последнее уравнение в (1) умножим на . В результате получим систему из уравнений:
Заметим, что в системе (3) и рассматриваются уже как функции точки (подобно векторам напряжённости и индукции электрического поля, векторам напряжённости и индукции магнитного поля в электродинамике), а не просто как переменные состояния, то есть вводятся функциональные зависимости переменных от координат:
Далее все левые части в (3) сложим:
в (6) с точки зрения тензорного анализа можно представить абсолютным вектором (векторным полем):
Но, вместе с тем, нельзя то же самое сделать с суммой
и, тем самым, ввести в уравнение (6) (по аналогии с (8)) абсолютный вектор потокосцепления
потому что векторы (2) локального базиса нельзя в общем случае внести под знак производных, так как эти векторы зависят от координат, а координаты в общем случае зависят от времени, то есть, вообще говоря,
В подобных случаях в тензорном анализе вводят понятие ковариантного дифференцирования. Рассмотрим это понятие в рамках данного подхода.
Продифференцируем (10) по обычным правилам дифференцирования производных от произведения функций:
Поскольку в (12) по индексу осуществляется суммирование, то этот индекс во втором слагаемом правой части можно (это удобно для дальнейших преобразований) заменить на любой другой, например, на :
В (13) появились дифференциалы локалных базисных векторов ( ). Эти дифференциалы, как известно из обычного анализа, можно выразить через частные производные:
Вместе с тем, согласно тензорному анализу, частные производные могут быть представлены в следующем виде:
где коэффициенты связности (то есть трёхиндексные символы Кристоффеля второго рода).
Подставим (15) в (14). Тогда
Теперь подставим (16) в (13):
Кроме того, разделим левую и правую части (17) на дифференциал времени:
Подставим (19) и (8) в (6). В результате получим следующее уравнение:
Чтобы избавиться от производных от координатам, и, тем самым, упростить полученное уравнение, произведём суммирование в (20) по индексу . Тогда уравнение примет следующий более простой вид
По смыслу всего изложенного слагаемые
в (20) и (21), соответственно, являются математическим выражением физического процесса вытеснения тока в стержнях ротора. Это значит, что нелинейный электромагнитный процесс вытеснения тока математически может быть представлен в многомерном пространстве с кривизной (в дифференциально-геометрическом многообразии по терминологии тензорного анализа).
Если все и, соответственно, все равны нулю, то это значит, что частота тока ротора АД стремиться к нулю, вытеснение тока в стержнях ротора отсутствует, а уравнения (20) и (21) принимают один и тот же вид:
Равенство нулю всех и означает, что -мерное пространство является плоским (то есть без кривизны). Поэтому локальные базисные векторы в плоском пространстве не зависят от координат , как и векторы и . Это значит, что в пространстве измерений можно ввести подпространство двух измерений и ортогональную двухмерную систему координат. Тогда уравнение (25) превращается в обычную систему, состоящую из двух уравнений:
где компоненты вектора потокосцепления ротора в ортогональной системе координат ; компоненты вектора тока ротора в той же системе координат; сопротивление статора. Таким образом, в данном подходе принцип соответствия соблюдается: уравнения более общей теории преобразуются в уравнения частной теории, если допущения частной теории применить к уравнениям более общей теории.
Векторы и в уравнении (21) тоже можно спроецировать на двухмерное ортогональное подпространство. В этом случае каждый из этих векторов будет иметь по две компоненты, а будет содержать четыре компоненты. Система уравнений для ротора примет в этом случае следующий вид:
где компоненты вектора потокосцепления ротора в ортогональной системе координат; компоненты вектора тока ротора в той же системе координат; компоненты, значения которых зависят в основном от эффективного сечения стержней и от температуры ротора; компоненты, численные значения которых определяются изменением фазы вектора плотности тока ротора. Значения всех четырех компонент можно принимать в первом приближении линейными функциями скольжения.
В настоящее время основной математической моделью, применяемой на практике, является модель Парка. Однако эта модель справедлива только при постоянных параметрах двигателя. Причём в этой модели не учитывается эффект вытеснения тока в стержнях ротора. Существуют другие математические модели, описывающие электромагнитные процессы в АД, в том числе и скин-эффект, но они, как правило, недостаточно обоснованы с теоретической точки зрения, а являются чисто инженерными решениями.
В данной статье предложена структура уравнений (27) электромагнитных процессов в роторе АД, обоснованная строго математически. Эта модель была неоднократно проверена методом математического моделирования и экспериментально, в том числе в системе векторного управления асинхронным электроприводом. Тип двигателя в экспериментальной установке 4А112МА6У3; мощность 3 кВт; параметры двигателя: активное сопротивление статора 2,16 Ом; активное сопротивление ротора 1,75 Ом; индуктивность статора 0,186 Гн; индуктивность ротора 0,189 Гн; индуктивность намагничивающего контура 0,18 Гн; момент инерции ротора 0,017 кг м 2 ; число пар полюсов 3.