научная статья по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ МОЛЕКУЛЫ УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА. РЕЗОНАНС ФЕРМИ Механика
Текст научной статьи на тему «АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ МОЛЕКУЛЫ УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА. РЕЗОНАНС ФЕРМИ»
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2015
© 2015 г. Г. Т. АЛДОШИН, С. П. ЯКОВЛЕВ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ МОЛЕКУЛЫ УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА. РЕЗОНАНС ФЕРМИ
Методом инвариантной нормализации исследуются нелинейные автономные колебания молекулы С02 в окрестности ее устойчивой конфигурации. При соотношении частот симметричных и деформационных колебаний 2 : 1 в молекуле возникает резонанс третьего порядка. В результате моделирования выявлены два нелинейных эффекта: перекачка энергии между модами продольных и поперечных колебаний, участвующими в резонансе, и расщепление частот в спектре молекулы: вместо одной линии симметричного колебания проявляется группа из четырех близко располо-жженных линий. Указанные эффекты составляют суть резонанса Ферми.
Ключевые слова: молекула углекислого газа, нелинейные колебания, резонанс Ферми, инвариантная нормализация.
1. Введение. С позиций классической механики атомы молекулы можно рассматривать как материальные точки, взаимодействующие друг с другом с силами, зависящими от расстояний, и колеблющиеся друг относительно друга. Теория малых, линейных колебаний разработана достаточно подробно [1—2]. В конце 20-х годов прошлого века был открыт эффект комбинационного рассеивания в спектре углекислого газа, который в рамках линейной теории не мог быть объяснен. Это необычное явление взаимодействия колебательных мод между собой, сопровождающееся перекачкой энергии между ними, было исследовано в 1931 г. [3] итальянским физиком Э. Ферми на основе квантовомеханической теории и получило название резонанса Ферми.
В 1933 г. резонанс Ферми был рассмотрен А. Виттом и Г. Гореликом методами классической механики [4]. Молекула С02, которая имеет линейную равновесную конфигурацию и может совершать продольные осевые колебания и деформационные изгибные колебания, моделировалась системой двух математических упругих маятников (атомы кислорода), подвешенных к атому углерода, который принимался неподвижным. Поскольку симметрия молекулы при движении сохранялась, анализ был ограничен одним маятником, имеющим две степени свободы. Было установлено, что резонанс Ферми имеет существенно нелинейный характер и возникает при совпадении удвоенной частоты деформационных колебаний с частотой осевого симметричного колебания. Качественно выводы Витта и Горелика соответствовали расчетам Ферми. Само явление Витт и Горелик назвали параметрическим резонансом.
Витт и Горелик в дальнейшем к своей задаче не возвращались. Но сама задача об упругом маятнике, получившая название "качающейся пружины", привлекла внимание многих авторов, библиографию и обзор результатов можно найти в [5—7].
В настоящей статье методами классической механики рассматриваются нелинейные автономные колебания молекулы углекислого газа в окрестности ее устойчивой конфигурации.
2. Постановка задачи. Механическая модель колебаний линейной трехатомной симметричной молекулы С02 приведена на фиг. 1. Атомы С и О с массами т0 и тс приняты за точечные массы, каждый атом взаимодействует только с соседними (приближение "близких соседей"), силы взаимодействия моделируются невесомыми пружинами постоянной жесткости: кч — жесткость межатомной связи С—О на растяжение—сжатие (валентные колебания), кф — изгибная жесткость (деформационное колебание).
Рассматриваются плоские свободные колебания молекулы, поступательные и вращательные степени свободы исключены вследствие неподвижности центра масс молекулы и постоянства кинетического момента, направленного перпендикулярно плоскости фиг. 1 [8]. Начало координат выбрано в центре масс устойчивой конфигурации системы: атом тс, являющийся точкой подвеса маятников т0, занимает среднее положение между ними, равновесная длина связи С—О I = 1.16 • 10-10 м; ось х направлена по оси молекулы в равновесном положении, колебания молекулы происходят в плоскости ху.
В естественных координатах, характеризующих отклонение конфигурации молекулы от равновесной, в молекуле будут три независимые степени свободы, и соответственно возбуждаются: симметричное (не нарушающие симметрии молекулы относительно атома С) с частотой V!, антисимметричное с частотой v3 продольные колебания вдоль оси молекулы и деформационное колебание изгиба в плоскости xy с частотой v2 (фиг. 1, a, с и Ь) соответственно).
3. Основные уравнения. Пусть текущие положения атомов на фиг. 1 определяются координатами О^, у1, 0), С^2, у2, 0), 0^3, у3, 0). Из условий неподвижности центра масс и постоянства кинетического момента следует [8]:
х2 = - — (Х1 + хз) У2 = - — (У1 + Уз), У1 = Уз тс тс
так что точка подвеса (атом С) не сохраняет, как в [4], фиксированного положения в пространстве.
Выражения для кинетической Т и потенциальной П энергии системы через ее координаты будут иметь вид